如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.若PD=2,求三棱锥P-EFD的体积

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 04:30:29
如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.若PD=2,求三棱锥P-EFD的体积如图在四棱锥P-ABCD中,底面AB

如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.若PD=2,求三棱锥P-EFD的体积

如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.若PD=2,求三棱锥P-EFD的体积

如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.若PD=2,求三棱锥P-EFD的体积

连接AC、BD交于点O,

∵PD⊥底面ABCD,且DC⊂底面ABCD,DB⊂底面ABCD,

∴PD⊥DC,PD⊥DB,
∵底面ABCD是正方形,

∴DC⊥BC,

∴BC⊥平面PDC,

∵DE⊂平面PDC,

∴BC⊥DE,
∵PD=DC,E是PC的中点,

∴DE⊥PC,

∴DE⊥平面PBC,

PD=DC=2,∴BD=BC=2,PC=2√2,DE=PE=√2,

连接BD,∴PB=√(PD²+BD²)=2√3,

∴cos∠EPF=(PB²+PC²-BC²)/2×PB×PC=√6/3,sin∠EPF=√3/3,

∴EF=PE×sin∠EPF=√6/3,PF=PE×cos∠EPF=2√3/3,

∴S△EFP=1/2×PF×EF=√2/3,

∴V三棱锥P-EFD=V三棱锥D-EFP=1/3×S△EFP×DE=2/9.

故答案为:2/9.

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