在菱形ABCD中,E.F分别是CB,CD上的点,且BE=DF.1.求证AE=AF2.若∠B=60°,点E分别为BC和CD的中点,求证△AEF为等边三角形
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/14 11:39:47
在菱形ABCD中,E.F分别是CB,CD上的点,且BE=DF.1.求证AE=AF2.若∠B=60°,点E分别为BC和CD的中点,求证△AEF为等边三角形
在菱形ABCD中,E.F分别是CB,CD上的点,且BE=DF.
1.求证AE=AF
2.若∠B=60°,点E分别为BC和CD的中点,求证△AEF为等边三角形
在菱形ABCD中,E.F分别是CB,CD上的点,且BE=DF.1.求证AE=AF2.若∠B=60°,点E分别为BC和CD的中点,求证△AEF为等边三角形
1、先证明三角形ABE和ADF全等.
因为菱形对角相等,所以角ABE=角ADF；
而菱形四条边相等,所以边AB=AD；
且已知BE=DF
所以可以由边角边定理知：△ABE和△ADF全等.所以知△ABE和△ADF的另外两条边AE、AF也相等,即AE=AF.
2、由于E、F分别为边BC和CD的重点,而菱形的四边都相等,所以BC=CD,
那可以知道1/2BC=1/2CD,
即BE=DF.
那么由于第一步不难知△ABE和△ADF全等.有AE=AF；
则知△AEF为等腰三角形,同理△CEF也为等腰三角形
好了到了这个地方,我们有两种证明方法：
一、连接AC,可以知道△ABC为等腰三角形,由于∠B=60°,则可以证明△ABC是等边三角形.
而AE为等边△ABC底边上的中线,则由等边△三线合一的性质可以知道AE也是等边△ABC的
底边BC上的中垂线,所以AE垂直于BC即∠AEB=90°,那么由于三角形三内角和为180°知道
∠BAE=30°,同理∠DAF=30°,则∠EAF=60°,所以综合∠EAF=60°、△AEF为等腰三角形
可以有等边对等角即由AE=AF得出∠AEF=∠AFE=60° ,所以得△AEF为等边三角形
二、可以根据余弦定理计算.只要求得AE=EF即可.不妨设AB=BC=CD=AD=2,则
BE=DF=1/2BC=1/2CD=1,由余弦定理AE^2=2^2+1^2-2*2*1*cos60°=3.
同理EF^2=1^2+1^2-2*1*1*cos120°=3,则不难知道AE=EF=√3,而又因为AE=AF已证,
所以有AE=AF=EF,所以△AEF为等边三角形.
证明完毕,请把分数加上给我.