如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=1/2AD.求证：平面PAC⊥平面PCD在棱PD上是否存在一点E,使CE//平面PAB?若存在,请确定点E位置,若不存

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=1/2AD.求证：平面PAC⊥平面PCD在棱PD上是否存在一点E,使CE//平面PAB?若存在,请确定点E位置,若不存
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=1/2AD.
求证：平面PAC⊥平面PCD
在棱PD上是否存在一点E,使CE//平面PAB?若存在,请确定点E位置,若不存在,请说明理由.

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=1/2AD.求证：平面PAC⊥平面PCD在棱PD上是否存在一点E,使CE//平面PAB?若存在,请确定点E位置,若不存
证：（1）∵PA⊥面ABCD,且CD在面ABCD上
∴PA⊥CD
∵∠PBA=45°
∴PA=AB=BC=1/2AD
∵∠ABC=∠BAD=90°
∵AC^2=AB^2+BC^2 =2PA^2
CD^2=AB^2+(1/2AD)^2=2PA^2
AD^2=4PA^2
可得：AC^2+CD^2=AD^2
∴CD⊥AC
∵PA、AC在面PAC上,且PA∩AC=A
∴CD⊥面PAC
又∵CD在面PCD上
∴面PAC⊥面PCD
（2）存在；
取PD中点为E,过E作EF垂直于面ABCD交AD于点F,连接CE、CF
∵EF⊥面ABCD、PA⊥面ABCD
∴EF‖PA
∵点E为PD中点
∴F为AD中点
∴AF=1/2AD=PA=BC
∵∠ABC=∠BAD=90°
∴BC‖=AF
∴四边形ABCF为平行四边形
∴CF‖BA
∵PA、AB在面PAB上；CF、EF在面CEF上；且PA∩AB于A；CF∩EF于F
∴面CEF‖面BPA
又∵CE在面CEF上
∴CE‖面PAB
∴存在这样的一个点E作为PD中点,使得CE‖面PAB

PA⊥面ABCD，且CD在面ABCD上
∴PA⊥CD
∵∠PBA=45°
∴PA=AB=BC=1/2AD
∵∠ABC=∠BAD=90°
∵AC^2=AB^2+BC^2 =2PA^2 ∴CD⊥AC
...

全部展开

PA⊥面ABCD，且CD在面ABCD上
∴PA⊥CD
∵∠PBA=45°
∴PA=AB=BC=1/2AD
∵∠ABC=∠BAD=90°
∵AC^2=AB^2+BC^2 =2PA^2 ∴CD⊥AC
∵PA、AC在面PAC上，且PA∩AC=A
∴CD⊥面PAC
又∵CD在面PCD上
∴面PAC⊥面PCD
（2）存在；
取PD中点为E，过E作EF垂直于面ABCD交AD于点F，连接CE、CF
∵EF⊥面ABCD、PA⊥面ABCD
∴EF‖PA
∵点E为PD中点
CD^2=AB^2+(1/2AD)^2=2PA^2
AD^2=4PA^2 ∴F为AD中点
∴AF=1/2AD=PA=BC
∵∠ABC=∠BAD=90°
∴BC‖=AF
∴四边形ABCF为平行四边形 ∴CF‖BA
∵PA、AB在面PAB上；CF、EF在面CEF上；且PA∩AB于A；CF∩EF于F
∴面CEF‖面BPA
又∵CE在面CEF上
∴CE‖面PAB
∴存在这样的一个点E作为PD中点，使得CE‖面PAB

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∴CF‖BA
可得：AC^2+CD^2=AD^

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