设a,b,c为△ABC的三边长,且二次三项式x²+2ax+b²与x²+2cx-b²有一次公因式,求证△ABC是直角三角形

设a,b,c为△ABC的三边长,且二次三项式x²+2ax+b²与x²+2cx-b²有一次公因式,求证△ABC是直角三角形
设a,b,c为△ABC的三边长,且二次三项式x²+2ax+b²与x²+2cx-b²有一次公因式,
求证△ABC是直角三角形

设a,b,c为△ABC的三边长,且二次三项式x²+2ax+b²与x²+2cx-b²有一次公因式,求证△ABC是直角三角形
x²+2ax+b²与x²+2cx-b²有一次公因式,就是说有一个x的值让x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0同时成立.
二式相加,可得x=-(a+c)
二式相减,可得(a-c)x+b²=0
把x=-(a+c)代入,可得-（a+c）(a-c)+b²=0
∴-a²+c²+b²=0
∴a²=b²+c²
∴△ABC是直角三角形.

设一公因式为（x+d),令第一个多项式为（x+d)(x+e),第二个为（x+d)(x+f).则得到如下等式组：d+e=2a,d+f=-2c,d*e=b^2,d*f=-b^2.由后两式得到e=-f.所以d+e=2a,d-e=-2c.两式平方相减得4de=4a^2-4c^2,即4b^2=4a^2-4c^2.

x^2+2ax+b^2与x^2+2cx-b^2有一次公因式，则他们的和也有同样的因式。
(x^2+2ax+b^2)+(x^2+2cx-b^2)=2x^2+2(a+c)x=2x(x+a+c)
由于b不等于0，所以x不是x^2+2ax+b^2和x^2+2cx-b^2的因式，因此x+a+c是x^2+2ax+b^2和x^2+2cx-b^2的因式。
(x^2+2ax+b^2)/(x+...

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x^2+2ax+b^2与x^2+2cx-b^2有一次公因式，则他们的和也有同样的因式。
(x^2+2ax+b^2)+(x^2+2cx-b^2)=2x^2+2(a+c)x=2x(x+a+c)
由于b不等于0，所以x不是x^2+2ax+b^2和x^2+2cx-b^2的因式，因此x+a+c是x^2+2ax+b^2和x^2+2cx-b^2的因式。
(x^2+2ax+b^2)/(x+a+c)=x+a-c+[b^2-(a-c)(a+c)]/(x+a+c)
因为x+a+c是它的因式，所以b^2-(a-c)(a+c)=0，即b^2=a^2-c^2
所以三角形ABC是直角三角形，A为直角。

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