在三角形ABC中,角ACB大于角ABC,E、D分别为AC、AB上的点,且角BCD=角CBE=2/1角A,求CE=BD用两种方法证明，
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 09:09:02
在三角形ABC中,角ACB大于角ABC,E、D分别为AC、AB上的点,且角BCD=角CBE=2/1角A,求CE=BD用两种方法证明，
在三角形ABC中,角ACB大于角ABC,E、D分别为AC、AB上的点,且角BCD=角CBE=2/1角A,求CE=BD
用两种方法证明，
在三角形ABC中,角ACB大于角ABC,E、D分别为AC、AB上的点,且角BCD=角CBE=2/1角A,求CE=BD用两种方法证明，
题中：角BCD=角CBE=2/1角A,是想表示1/2角A吧.若是2倍的角A,直接表示为：2角A.
证法1：
延长CD到F,连接BF,使得BF=BD.(拟构造两个全等三角形）
则∠BFD=∠FDB
∵∠FDB=∠DCB+∠DBC=1/2∠A+1/2∠A+∠ABE=∠A+∠ABE
又∵∠CEB=∠A+∠ABE
∴ ∠BFC=∠CEB
BC是△BFC和△CEB的公共边,∠FCB=∠EBC=1/2∠A (已知）
∴ △BFC≌△CEB （角边角）
则 CE=BF=BD
证法2：
在EB取点F,连接CF,使得CF=CE
则∠EFC=∠FEC
∵ ∠EFC=∠FBC+∠FCB=1/2∠A+1/2∠A+∠FCD=∠A+∠FCD
又∵∠FEC=∠A+∠ABE
∴ ∠A+∠ABE=∠A+∠FCD 即 ∠ABE=∠FCD
设CD与BE的交点为O
∵ ∠OCB=∠OBC=1/2∠A
∴OC=OB
另∠DOB=∠FOC （对顶角）
∴ △DOB≌△FOC （角边角）
则BD=FC=CE
注：两种方法的思路一样,都是构造一个三角形,这个三角形的一条边与要证明的一条边相等,然后证明与另一条边所在的三角形全等.
(一)、∵∠ACB＞∠ABC，∴∠ACB+∠A/2＞∠ABC+∠A/2，
则有∠ACB+∠CBE＞90°而∠ABC+∠BCD＜90°，
过C作CM⊥BE，M是垂足，则M点在BE上；
过B作BN⊥CD，N是垂足，这时N点在CD的延长线上。
由∠BCD=∠CBE易证rt△CMB≌rt△CNB，得CM=BN。
注意到∠ECM=∠ACB-∠MCB=∠ACB-(90°...
全部展开
(一)、∵∠ACB＞∠ABC，∴∠ACB+∠A/2＞∠ABC+∠A/2，
则有∠ACB+∠CBE＞90°而∠ABC+∠BCD＜90°，
过C作CM⊥BE，M是垂足，则M点在BE上；
过B作BN⊥CD，N是垂足，这时N点在CD的延长线上。
由∠BCD=∠CBE易证rt△CMB≌rt△CNB，得CM=BN。
注意到∠ECM=∠ACB-∠MCB=∠ACB-(90°-∠A/2)；
∠DBN=∠CBN-∠ABC=(90°-∠A/2)-∠ABC，
∵两式右端相等，∴左端∠ECM=∠DBN，
从而rt△ECM≌rt△DBN，得CE=BD。
（二）、记CE与BD交于F点，
在CD的延长线上取一点G，使∠CBG=ACB，
∵∠BCD=∠CBE，∴△ECB≌△GBC，有CE=BG，
还有∠CEB=∠CGB。
∵∠CFB+∠BCD+∠CBE=180°即∠CBF+∠A=180°，
∴四边形AEFD中∠EFD+∠A=180°，
以及∠AEF+∠ADF=180°，∠CEB=∠ADF=∠GDB，
联前可得∠CGB=∠GDB，故BG=BD，
∴CE=BG=BD。
收起