已知三角形ABC满足(cosA+2cosC)/(cosA+2cosB)=sinB/sinC,试判断三角形ABC的形状
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 16:40:49
已知三角形ABC满足(cosA+2cosC)/(cosA+2cosB)=sinB/sinC,试判断三角形ABC的形状
已知三角形ABC满足(cosA+2cosC)/(cosA+2cosB)=sinB/sinC,试判断三角形ABC的形状
已知三角形ABC满足(cosA+2cosC)/(cosA+2cosB)=sinB/sinC,试判断三角形ABC的形状
方法一：
∵（cosA＋2cosC）/（cosA＋2cosB）＝sinB/sinC,
∴cosAsinC＋2cosCsinC＝cosAsinB＋2cosBsinB
∴cosA（sinC－sinB）＝sin2B－sin2C＝2sin（B－C）cos（B＋C）＝－2sin（B－C）cosA
一、当cosA＝0时,A＝90°,此时三角形是直角三角形.
二、当cosA≠0时,两边同除以cosA,得：sinB－sinC＝2sin（B－C）
∴2sin［（B－C）/2］cos［（B＋C）/2］＝4sin［（B－C）/2］cos［（B－C）/2］
∴2sin［（B－C）/2］｛cos［（B＋C）/2］－2cos［（B－C）/2］｝＝0
∴sin［（B－C）/2］＝0,或cos［（B＋C）/2］－2cos［（B－C）/2］＝0.
1、由sin［（B－C）/2］＝0,得：B＝C.
2、由cos［（B＋C）/2］－2cos［（B－C）/2］＝0,得：
－3sin（B/2）sin（C/2）－cos（B/2）cos（C/2）＝0.
显然,B/2、C/2都是锐角,∴sin（B/2）＞0,sin（C/2）＞0,cos（B/2）＞0,cos（C/2）＞0
∴－3sin（B/2）sin（C/2）－cos（B/2）cos（C/2）＝0是不可能的.
综合1、2所述,得：B＝C,∴此时三角形是等腰三角形.
由一、二所述,得：满足条件的三角形是直角三角形或等腰三角形.
方法二：
∵（cosA＋2cosC）/（cosA＋2cosB）＝sinB/sinC,
∴cosAsinC＋2cosCsinC＝cosAsinB＋2cosBsinB
由余弦定理、正弦定理,容易得到：
［（b^2＋c^2－a^2）/（2bc）］c＋2［（a^2＋b^2－c^2）/（2ab）］c
＝［（b^2＋c^2－a^2）/（2bc）］b＋2［（a^2＋c^2－b^2）/（2ac）］b
去分母,得：
ac（b^2＋c^2－a^2）＋2c^2（a^2＋b^2－c^2）
＝ab（b^2＋c^2－a^2）＋2b^2（a^2＋c^2－b^2）
∴ac（b^2＋c^2－a^2）＋2c^2（a^2－b^2－c^2）＋4b^2c^2
＝ab（b^2＋c^2－a^2）＋2b^2（a^2－c^2－b^2）＋4b^2c^2
∴（b^2＋c^2－a^2）（ac－2c^2－ab＋2b^2）＝0
∴b^2＋c^2－a^2＝0,或ac－2c^2－ab＋2b^2＝0.
一、由b^2＋c^2－a^2＝0,得：此时的三角形是直角三角形.［勾股定理的逆定理］
二、由ac－2c^2－ab＋2b^2＝0,得：（ac－ab）＋2（c^2－b^2）＝0,
∴a（c－b）＋2（c＋b）（c－b）＝0,∴（c－b）（a＋2c＋2b）＝0.
显然,a＋2c＋2b＞0,∴c－b＝0,得：c＝b,∴此时的三角形是等腰三角形.
综合一、二,得满足条件的三角形是直角三角形或等腰三角形.