已知x＞0,y＞0,x+y+xy=2,则x+y的最小值是?

已知x＞0,y＞0,x+y+xy=2,则x+y的最小值是?
已知x＞0,y＞0,x+y+xy=2,则x+y的最小值是?

已知x＞0,y＞0,x+y+xy=2,则x+y的最小值是?
你好

x+y+xy=2 两边加1
1+x+y+xy=3
(x+1)(y+1)=3
x+y
=(x+1)+(y+1)-2【前两项用均值不等式】
≥2√[(x+1)(y+1)]-2
=2√3-2
当且仅当x=y=√3-1时取最小值2√3-2

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由X+Y+XY=2得
y=(2-x)/(x+1)
所以x+y=x+(2-x)/(x+1)
令b=x+(2-x)/(x+1)
则x^2-bx+2-b=0
要使x存在
必须△≥0
即b^2-4(2-b)≥0
解得b≤-2-2√3或b≥-2+2√3
因此X+Y的最小值是-2+2√3

令t=x+y>0，
则xy≤(t/2)²，代入x+y+xy=2，得t+(t/2)²≥2，即(t+2)²≥12，
由于t>0，所以t≥2(√3-1)，
当且仅当x=y=√3-1时，t=x+y取最小值2(√3-1)。