设向量组a1,a2,a3线性无关,证明:向量组B1=a1+2a2+a3,B2=a1+a2+a3,B3=a1+3a2+4a3
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 20:38:15
设向量组a1,a2,a3线性无关,证明:向量组B1=a1+2a2+a3,B2=a1+a2+a3,B3=a1+3a2+4a3
设向量组a1,a2,a3线性无关,证明:向量组B1=a1+2a2+a3,B2=a1+a2+a3,B3=a1+3a2+4a3
设向量组a1,a2,a3线性无关,证明:向量组B1=a1+2a2+a3,B2=a1+a2+a3,B3=a1+3a2+4a3
考虑M=
1 2 1
1 1 1
1 3 4是个可逆矩阵
A=(a1,a2,a3)
B=(b1,b2,b3)
MA =B
既然 A,M满秩,B一定满秩,因此所述三个向量线性无关
或者从定义,如果存在c1,c2,c3使得c1b1 +c2 b2 + c3 b3 =0,c是c1,c2,c3为其值得向量
则0=cB = cMA
既然A是线性无关组构成的矩阵,0=CMA得到cM=0（线性无关的定义）
而M可逆,CM=0 => cMM' = 0M' =0,也就是CE = 0,C=0
因此B线性无关
假设 a1+2a2+a3,a1+a2+a3,a1+3a2+4a3线性相关，
则存在不全为零的常数m,n,p,使m(a1+2a2+a3)+n(a1+a2+a3)+p(a1+3a2+4a3)=0
即（m+n+p)a1+(2m+n+3p)a2+(m+n+4p)a3=0
又 向量组a1,a2,a3线性无关， 所以 （m+n+p)=0 & 2m+n+3p=0 & m+n+...
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假设 a1+2a2+a3,a1+a2+a3,a1+3a2+4a3线性相关，
则存在不全为零的常数m,n,p,使m(a1+2a2+a3)+n(a1+a2+a3)+p(a1+3a2+4a3)=0
即（m+n+p)a1+(2m+n+3p)a2+(m+n+4p)a3=0
又 向量组a1,a2,a3线性无关， 所以 （m+n+p)=0 & 2m+n+3p=0 & m+n+4p=0
解得 p=0, n=0 m=0 与假设不全为零的常数m,n,p,矛盾 ； 所以假设错误 ，元结论正确
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