圆面积公式推导谁都知道S=圆周率×R^2.但谁会推导?所有书上都找不到.我要严谨的推导,不要想当然的.能用初等数学解决最好.实在不行的话,要用定积分也行,但最好别用参数方程.要严谨详细具

圆面积公式推导谁都知道S=圆周率×R^2.但谁会推导?所有书上都找不到.我要严谨的推导,不要想当然的.能用初等数学解决最好.实在不行的话,要用定积分也行,但最好别用参数方程.要严谨详细具
圆面积公式推导
谁都知道S=圆周率×R^2.但谁会推导?所有书上都找不到.我要严谨的推导,不要想当然的.能用初等数学解决最好.实在不行的话,要用定积分也行,但最好别用参数方程.要严谨详细具体一点,要能看得懂,能理解.吾甚惑之,
好像有点看得懂。我定积分没学好，弄不清楚，能否给个图，给个方程。积分变量最好不要换来换去ok?

圆面积公式推导谁都知道S=圆周率×R^2.但谁会推导?所有书上都找不到.我要严谨的推导,不要想当然的.能用初等数学解决最好.实在不行的话,要用定积分也行,但最好别用参数方程.要严谨详细具
用单位圆说明（r=1）
在第一象限中：
∫(1-x^2)^(1/2)*dx
=∫(1-sint*sint)^(1/2)*d(sint)(t从0到π/2)
=∫cost*cost*dt
=0.25*∫[1+cos(2t)]*d(2t)
=0.25*∫du+0.25*∫cosu*du(u从0到π)
=0.25π+0.25*(sinπ-sin0)
=0.25π
∴在四个象限中：
S=4*0.25π=π

S=派R^2
设圆的方程：x^2+y^2=R^2 (x,y是圆在平面直角坐标系中的坐标，R为半径。)
取第一象限的四分之一圆，
积分 得出1/4个圆面积*4=派R^2

应该是把园看成一个正多边形，比如正八边形，正12边形，边数越多越好。祖冲之推圆周率时就是用这个方法一个一个算的。

设圆的半径R，在圆上无限临近两点A、B，分别作半径OA、OB，他们的夹角Δα，因AB无限靠近，弧AB与线段AB已经没什么区别，所以三角形OAB的面积为
Δs=（1/2）AB*R=（1/2）RΔα*R
圆的面积
S=无数个Δs之和=（1/2）R^2*无数个圆心角Δα之和=（1/2）R^2*2π=πR^2...

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设圆的半径R，在圆上无限临近两点A、B，分别作半径OA、OB，他们的夹角Δα，因AB无限靠近，弧AB与线段AB已经没什么区别，所以三角形OAB的面积为
Δs=（1/2）AB*R=（1/2）RΔα*R
圆的面积
S=无数个Δs之和=（1/2）R^2*无数个圆心角Δα之和=（1/2）R^2*2π=πR^2

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