已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a) (1)求f(0)(1)求f(0),f(1)的值(2)判断f(x)的奇偶性
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/10/06 13:32:06
已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a) (1)求f(0)(1)求f(0),f(1)的值(2)判断f(x)的奇偶性
已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a) (1)求f(0)
(1)求f(0),f(1)的值
(2)判断f(x)的奇偶性
已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a) (1)求f(0)(1)求f(0),f(1)的值(2)判断f(x)的奇偶性
(1)取a=0、b=-1.
f[0*(-1)]=f(0)=0*f(-1)+(-1)f(0)=-f(0).
所以,2f(0)=0、f(0)=0.
取a=1、b=1.
f(1*1)=f(1)=f(1)+f(1)、f(1)=0.
(2)取a=-1、b=-1.
f[(-1)*(-1)]=f(1)=0=(-1)f(-1)+(-1)f(-1)=-2f(-1)、f(-1)=0.
取a=-1、b=x.
f[(-1)x]=f(-x)=(-1)f(x)+xf(-1)=-f(x),f(x)为奇函数.
1) f(ab)=af(b)+bf(a)
则 f(0) = f(0*0)=0f(0)+0f(0) = 0
f(1) = f(1*1)=1f(1)+1f(1)= 2f(1)
即f(1)=2f(1) 当f(1)=0时等式成立。所以f(1)=0
2).0=f(1)=f(-1*-1)=-1*f(-1)-1*f(-1)=-2f(-1)
所以 f(-1)=0
f(-a)=f(-1*a)= -1f(a)+af(-1) = -f(a)
则 f(x)为奇函数
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