设方程10^x+x-3=0的根为α,方程lgx+x-3=0的根为β,则α+β的值是?

设方程10^x+x-3=0的根为α,方程lgx+x-3=0的根为β,则α+β的值是?
设方程10^x+x-3=0的根为α,方程lgx+x-3=0的根为β,则α+β的值是?

设方程10^x+x-3=0的根为α,方程lgx+x-3=0的根为β,则α+β的值是?
10^x+x-3=0的根为α,所以3=10^α+α----(1)
lgx+x-3=0的根为β,所以3=lgβ+β------(2)
由(1)(2)得:lgβ+β=10^α+α
即:lgβ=10^α+α-β
即:β=10^(10^α+α-β)
即:β=10^(10^α+α)/(10^β)
即:10^(10^α) * 10^α = (10^β) * β
有10^α=β 等式成立,将代入(1) 可得α+β=3

10^x+x-3=0
设y=10^x,则：x=lgy
所以，y+lgy-3=0
所以，lgα是方程lgx+x-3=0的根
因为：f(x)=lgx+x-3单调增
所以，lgx+x-3=0只有一个根
所以，β=lgα
所以，α+β=α+lgα=(α+lgα-3)+3=3