已知数列｛An｝的前n项和为Sn,且满足An+2Sn*S（n-1）=0（n>=2）,A1=1/2（1）求证：｛1/Sn｝是等差数列（2）求通项公式An
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 06:22:19
已知数列｛An｝的前n项和为Sn,且满足An+2Sn*S（n-1）=0（n>=2）,A1=1/2（1）求证：｛1/Sn｝是等差数列（2）求通项公式An
已知数列｛An｝的前n项和为Sn,且满足An+2Sn*S（n-1）=0（n>=2）,A1=1/2
（1）求证：｛1/Sn｝是等差数列
（2）求通项公式An
已知数列｛An｝的前n项和为Sn,且满足An+2Sn*S（n-1）=0（n>=2）,A1=1/2（1）求证：｛1/Sn｝是等差数列（2）求通项公式An
证：1）、因为 An=Sn-S（n-1）
An+2Sn*S（n-1）=0,则Sn-S（n-1）+2SnS（n-1）=0
所以1/Sn-1/S（n-1）=2
所以｛1/Sn｝以2为首项,公差为2的等差数列.
2）、1/Sn=1/S1+（n-1）*2=2+2（n-1）=2n,所以Sn=1/（2n）
所以An+2*1/（2n）*1/（2n-2）=0,得An=1/2（n-n^2)
an+2Sn·S（n-1）=0 an=Sn-S(n-1)
Sn-S(n-1)+2Sn·S（n-1）=0 两边同时除以Sn·S（n-1）
1/S(n-1)-1/Sn=-2
1/Sn-1/S(n-1)=2
所以 数列｛1/Sn｝是以2位公差2为首项的等差数列
（2）1/Sn=2+(n-1)2=2n
Sn=1/2n S(n-1)=1/(2n-2)
an=1/2n-1/(2n-2)
An=Sn-S(n-1)
代入原式再除以Sn*S（n-1）即可解第一问
第二问 ：｛1/Sn｝是等差数列，求通项即可得到Sn
得到Sn的表达式后用Sn-S(n-1)=An求出来
(1) An=Sn-S(n-1),
代入原式得S(n-1)-Sn=2Sn*S（n-1）
两边同除以Sn*S（n-1）得
1/Sn-1/S（n-1）=2 (n>=2）
所以｛1/Sn｝是以A1=1/2为首相，2为公差的等差数列
（2）An=A1+(n-1)*2=1/2+2(n-1)=2n-3/2
有点忘了，错误之处请指正