设二次函数f（x）=ax²+bx+c满足条件：f（0）=2,f（1）=-1,且其图像在x轴上截得的线段长为2倍根号2,求这个二次函数.

设二次函数f（x）=ax²+bx+c满足条件：f（0）=2,f（1）=-1,且其图像在x轴上截得的线段长为2倍根号2,求这个二次函数.
设二次函数f（x）=ax²+bx+c满足条件：f（0）=2,f（1）=-1,且其图像在x轴上截得的线段长为2倍根号2,求这个二次函数.

设二次函数f（x）=ax²+bx+c满足条件：f（0）=2,f（1）=-1,且其图像在x轴上截得的线段长为2倍根号2,求这个二次函数.
f(0)=c=2
f(1)=a+b+c=a+b+2=-1,得b=-3-a
|x1-x2|=2√2
平方：(x1-x2)²=8
(x1+x2)²-4x1x2=8
(-b/a)²-4c/a=8
b²-8a=8a²
代入b,得：(-3-a)²-8a=8a²
9+6a+a²-8a=8a²
7a²+2a-9=0
(7a+9)(a-1)=0
a=1,-9/7
得b=-4,-12/7
所以f(x)=x²-4x+2或f(x)= -(9/7)x²-12x/7+2

分别代入f（0）=2，f（1）=-1，则c=2，a+b+3=0 ①，
（x2-x1）²=（x2+x1）²-4x2x1=（-b/a）²-4*c/a=8，（b/a）²-8/a=8②
联立①②后解得a=1或-9/7，b==-4或-12/7，代回f（x）=ax²+bx+c，得f(x)=x²-4x+2或f(x)= -(9/7)x²-12x/7+2