已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c满足条件1.f(3-x)=f(x)；2.f(1)=0;3.对任意实数f(x)≥1/4a-1/2恒成立,4a分之一减2分之1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/29 01:54:22
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c满足条件1.f(3-x)=f(x)；2.f(1)=0;3.对任意实数f(x)≥1/4a-1/2恒成立,4a分之一减2分之1
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c满足条件1.f(3-x)=f(x)；2.f(1)=0;3.对任意实数f(x)≥1/4a-1/2恒成立,
4a分之一减2分之1
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c满足条件1.f(3-x)=f(x)；2.f(1)=0;3.对任意实数f(x)≥1/4a-1/2恒成立,4a分之一减2分之1
f(x)=ax² + bx + c
f(3-x)=a(3-x)² +b(3-x) + c=ax² - (6a+b)x + 9a+3b+c
=f(x)=ax² + bx + c
所以可得,b=-(6a+b),b= - 3a；
又f(1)=0,即a+b+c=0,所以可得,c-2a=0,即c=2a
又对任意实数f(x)≥1/(4a)-1/2恒成立,
即a>0,且(4ac-b²)/(4a) = (4a*2a -9a²)/(4a) =-a/4 ≥1/(4a)-1/2
即 -a/4 ≥1/(4a)-1/2,两边同乘以"4a"(a>0,不等号不改变方向),再移项可得,
a² - 2a + 1≤0,即(a-1)² ≤0 ,所以,当且仅当a=1时,不等式方成立,
所以,a=1,b=-3,c=2
所以,f(x)=x² - 3x + 2
∵f(3-x)=f(x)
∴f(x)关于x=3/2对称
∴-b/(2a)=3/2 ①
∵f(1)=0
∴a+b+c=0 ②
∵f(x)≥1/(4a)-1/2恒成立
∴关于x的一元二次不等式ax²+bx+c-1/(4a)+1/2≥0恒成立
则a＞0，△=b²-4a[c-1/(4a)+1/2]≤0 ...
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∵f(3-x)=f(x)
∴f(x)关于x=3/2对称
∴-b/(2a)=3/2 ①
∵f(1)=0
∴a+b+c=0 ②
∵f(x)≥1/(4a)-1/2恒成立
∴关于x的一元二次不等式ax²+bx+c-1/(4a)+1/2≥0恒成立
则a＞0，△=b²-4a[c-1/(4a)+1/2]≤0 ③
解① ② ③得a=1,b=-3,c=2
∴f(x)=x²-3x+2
收起
最后结果是f(x)=x^2-3x+2
首先由.f(3-x)=f(x)，可以得出2bx+6ax=9a+3b
由.f(1)=0得出a+b+c=0
由.对任意实数f(x)≥1/4a-1/2恒成立，得出二次函数开口向上（a>0最后解关于a的一元二次方程式的时候有用）且最小值 (4ac-b²)/4a=1/4a-1/2
再由.f(3-x)=f(x)得出抛物线对称轴为 ...
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最后结果是f(x)=x^2-3x+2
首先由.f(3-x)=f(x)，可以得出2bx+6ax=9a+3b
由.f(1)=0得出a+b+c=0
由.对任意实数f(x)≥1/4a-1/2恒成立，得出二次函数开口向上（a>0最后解关于a的一元二次方程式的时候有用）且最小值 (4ac-b²)/4a=1/4a-1/2
再由.f(3-x)=f(x)得出抛物线对称轴为 3/2，，那么-b/2a=3/2
4个方程联立可以解出结果为f(x)=x^2-3x+2
收起
=1438250SBV！
f（x）=x^2-3x+2