（2012•淄博）在矩形ABCD中,BC=4,BG与对角线AC垂直且分别交AC,AD及射线CD于点E,F,G,AB=x．（1）当点G与点D重合时,求x的值；（2）当点F为AD中点时,求x的值及∠ECF的正弦值

（2012•淄博）在矩形ABCD中,BC=4,BG与对角线AC垂直且分别交AC,AD及射线CD于点E,F,G,AB=x．（1）当点G与点D重合时,求x的值；（2）当点F为AD中点时,求x的值及∠ECF的正弦值
（2012•淄博）在矩形ABCD中,BC=4,BG与对角线AC垂直且分别交AC,AD及射线CD于点E,F,G,AB=x．
（1）当点G与点D重合时,求x的值；
（2）当点F为AD中点时,求x的值及∠ECF的正弦值

（2012•淄博）在矩形ABCD中,BC=4,BG与对角线AC垂直且分别交AC,AD及射线CD于点E,F,G,AB=x．（1）当点G与点D重合时,求x的值；（2）当点F为AD中点时,求x的值及∠ECF的正弦值
分析：（1）当点G与点D重合时,点F也与点D重合,在由AC与BD垂直,利用对角线垂直的矩形为正方形,得到ABCD为正方形,由正方形的四条边相等得到AB=BC=4,可得出x的值为4；
（2）由矩形的对边相等,得到AD=BC=4,又F为AD的中点,得到AF=2,再由矩形的对边平行,得到AF与BC平行,由两直线平行得到两对内错角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形AEF与三角形CEB相似,且相似比为1：2,得到EC=2AE,BE=2EF,即AC=3AE,BF=3EF,在三角形ABC和三角形ABF中,分别利用勾股定理得到AC2=AB2+BC2,BF2=AF2+AB2,将各自的值代入,两等式左右两边分别相加,得到9（AE2+FE2）=2x2+20,又在直角三角形ABE中,利用勾股定理得到AE2+FE2=AB2=x2,列出关于x的方程,求出方程的解即可得到x的值；由F为AD的中点,利用对称性得到BF=CF,由AF平行与BC,得到两对内错角相等,进而确定出三角形AEF与三角形BEC相似,由相似得比例,且相似比为1：2,利用锐角三角函数定义即可求出∠ECF的正弦值．（1）当点G与点D重合时,点F也与点D重合,
∵矩形ABCD中,AC⊥BG,
∴四边形ABCD是正方形,
∵BC=4,
∴x=AB=BC=4；
（2）∵点F为AD中点,且AD=BC=4,
∴AF=12AD=2,
∵矩形ABCD中,AD∥BC,
∴∠EAF=∠ECB,∠AFE=∠CBE,
∴△AEF∽△CEB,
∴AECE=FEBE=AFCB=24=12,
∴CE=2AE,BE=2FE,
∴AC=3AE,BF=3FE,
∵矩形ABCD中,∠ABC=∠BAF=90°,
∴在Rt△ABC和Rt△BAF中,AB=x,
分别由勾股定理得：AC2=AB2+BC2,BF2=AF2+AB2,即（3AE）2=x2+42,（3FE）2=22+x2,
两式相加,得9（AE2+FE2）=2x2+20,
又∵AC⊥BG,
∴在Rt△AEF中,根据勾股定理得：AE2+FE2=AF2=4,
∴36=2x2+20,
解得：x=22或x=-22（舍去）,
故x=22；
∵F为AD的中点,
由对称性得到BF=CF,
∵AF∥BC,
∴△AEF∽△CEB,
∴EFEB=AFCB=12,
∴sin∠ECF=EFCF=EFBF=13．点评：此题考查了相似型综合题,涉及的知识有：正方形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,以及锐角三角函数定义,利用了方程的思想,是一道综合性较强的试题．