用n(n>=2)表示(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16).(1-1/n^2)的值并用数学归纳法证明
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/27 08:10:05
用n(n>=2)表示(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16).(1-1/n^2)的值并用数学归纳法证明
用n(n>=2)表示(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16).(1-1/n^2)的值并用数学归纳法证明
用n(n>=2)表示(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16).(1-1/n^2)的值并用数学归纳法证明
(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16).(1-1/n^2)=(n+1)/(2n)
证明:
记上式为S(n)=(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16).(1-1/n^2)
1° 当n=2时,S(2)=3/4=(2+1)/(2*2),成立
2° 若n=k时,推测成立
即S(k)=(k+1)/(2k)
S(k+1)=S(k)*[1-1/(k+1)^2]
=[(k+1)/(2k)]* [k*(k+2)/(k+1)^2]
=[(k+1)+1]/(2k+1)
所以对n=k+1的情况也成立
综合1°,2°,知猜想成立~
(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)......(1-1/n^2)=(n+1)/2n
证明:
当n=2时
左式=1-1/4=3/4
右式=(2+1)/2*2=3/4
左式=右式,等式成立
设当n=k时成立
(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)......(1-1/k^2)=(k+1)/2k
当n=k+1时
左...
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(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)......(1-1/n^2)=(n+1)/2n
证明:
当n=2时
左式=1-1/4=3/4
右式=(2+1)/2*2=3/4
左式=右式,等式成立
设当n=k时成立
(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)......(1-1/k^2)=(k+1)/2k
当n=k+1时
左式=(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)......(1-1/k^2)(1-1/(k+1)^2)=((k+1)/2k)*(1-1/(k+1)^2)
=((k+1)/2k)*(k(k+2)/(k+1)^2)
=(k+2)/2(k+1)
右式=((k+1)+1)/2(k+1)=(k+2)/2(k+1)
左式=右式,等式成立
综上所说,(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)......(1-1/n^2)=(n+1)/2n成立
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