同一函数不同方式的幂级数展开是否有不同的收敛域

同一函数不同方式的幂级数展开是否有不同的收敛域
同一函数不同方式的幂级数展开是否有不同的收敛域

同一函数不同方式的幂级数展开是否有不同的收敛域
问得好!
这个问题,要分两方面解答.
1、用不同的方法,将函数展开成同一种级数时,收敛域是一样的.
例如 1/根号(1 + x),展开成麦克劳林级数时,
我们可以用定义的方法,逐次求导；
也可以用二项式展开的方法,结果都是一样的.
2、如果是不同的级数,收敛域就不一样.
例如上面的例子,在不同的点,收敛域是不一样的.
也就是说,在不同的点的泰勒展开,收敛域是不同的.
如果是在同一点,用不同的方法展开成泰勒级数,收敛域还是一样的.