高中二次函数恒成立不等式x²+2ax+3＞0在【1,2】上恒成立,求a的范围.要过程.

高中二次函数恒成立不等式x²+2ax+3＞0在【1,2】上恒成立,求a的范围.要过程.
高中二次函数恒成立
不等式x²+2ax+3＞0在【1,2】上恒成立,求a的范围.
要过程.

高中二次函数恒成立不等式x²+2ax+3＞0在【1,2】上恒成立,求a的范围.要过程.
【解】令函数f（x）=x²+2ax+3=（x+a）²+3-a²
这个函数开口向上,对称轴为x=-a,最低点（-a,3-a²）
⑴若-a≤1即a≥-1,则f（x）在[1,2]上单调递增,
要使x²+2ax+3＞0在[1,2]上恒成立,则f（1）>0
即：2a+4>0,a>-2
所以a≥-1；
⑵若-a≥2即a≦-2,则f（x）在[1,2]上单调递减,
要使x²+2ax+3＞0在[1,2]上恒成立,则f（2）>0
即：4a+7>0,a>-7/4
所以此时a不存在；
⑶若10,-√3

f(1)>0,f(2)>0

因为x＞0, 所以x²+2ax+3＞0可变形为 a>-(x/2+3/2x)
由基本不等式知，x/2+3/2x≥2√(x/2·3/2x)=√3，(在x=√3取得)
x=1时，x/2+3/2x=2，x=2时，x/2+3/2x=7/4，
所以 x/2+3/2x∈[√3,2]
-(x/2+3/2x)∈[-2,-√3]
所以 a＞-√3.