已知在矩形ABCD中,CE⊥BD于E,AF平分∠BAD交EC延长线于F,交BC于G,交BD于H,求证CA=CF

已知在矩形ABCD中,CE⊥BD于E,AF平分∠BAD交EC延长线于F,交BC于G,交BD于H,求证CA=CF
已知在矩形ABCD中,CE⊥BD于E,AF平分∠BAD交EC延长线于F,交BC于G,交BD于H,求证CA=CF

已知在矩形ABCD中,CE⊥BD于E,AF平分∠BAD交EC延长线于F,交BC于G,交BD于H,求证CA=CF
注意：图形各顶点的字母不同,注意切换
证明：延长DC交AF于H,显然∠FCH=∠DCE．
又在Rt△BCD中,由于CE⊥BD,故∠DCE=∠DBC．
因为矩形对角线相等,
所以△DCB≌△CDA,从而∠DBC=∠CAD,
因此∠FCH=∠CAD．①
又AG平分∠BAD=90°,
所以△ABG是等腰直角三角形,
从而易证△HCG也是等腰直角三角形,
所以∠CHG=45°．
由于∠CHG是△CHF的外角,
所以∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°,
所以∠CFH=45°-∠FCH．②
由①,②∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF,
于是在三角形CAF中,有CA=CF．