∫∫x²dxdy D区域为2

∫∫x²dxdy D区域为2
∫∫x²dxdy D区域为2

∫∫x²dxdy D区域为2

上面两位回答的都没有问题,但过程稍显粗糙.附件中详细介绍了整个问题的分析和计算过程,请参考.

写得太多了，拍照片看不清了，就不贴上去了。你就用极坐标的方法就行了，用极坐标转化为二次积分后，在用cos(x)的倍角公式降次，然后用0到π/2的余弦函数公式（在高数一分部积分部分）就可以了。

原式=∫<-π/4,π/4>dθ∫<√2,2cosθ>(rcosθ)^2*rdr (作极坐标变换)
=∫<-π/4,π/4>(cosθ)^2dθ∫<√2,2cosθ>r^3dr
=∫<-π/4,π/4>(cosθ)^2[4(cosθ)^4-1]dθ
=∫<-π/4,π/4>[4(cosθ)...

全部展开

原式=∫<-π/4,π/4>dθ∫<√2,2cosθ>(rcosθ)^2*rdr (作极坐标变换)
=∫<-π/4,π/4>(cosθ)^2dθ∫<√2,2cosθ>r^3dr
=∫<-π/4,π/4>(cosθ)^2[4(cosθ)^4-1]dθ
=∫<-π/4,π/4>[4(cosθ)^6-(cosθ)^2]dθ
=∫<-π/4,π/4>[3/4+cos(2θ)+(3/4)cos(4θ)+(1/2)(cos(2θ))^3]dθ (应用倍角公式)
=[(3/4)θ+(3/4)sin(2θ)+(3/16)sin(4θ)-(1/12)(sin(2θ))^3]│<-π/4,π/4>
=(3/4)(π/2)+(3/4)*2-(1/12)*2
=3π/8+4/3。

收起