设a,b是实数,且a²-ab+b²=8,求a²+ab+b²的取值范围

设a,b是实数,且a²-ab+b²=8,求a²+ab+b²的取值范围
设a,b是实数,且a²-ab+b²=8,求a²+ab+b²的取值范围

设a,b是实数,且a²-ab+b²=8,求a²+ab+b²的取值范围
设 a=x+y, b=x-y.
则 a²-ab+b²=8=x^2+2xy+y^2-x^2+y^2+x^2-2xy+y^2=x^2+3y^2=8
而
a²+ab+b²=3x^2+y2=3(x^2+3y^2)-8y^2=24-8y^2=8/3 等号在x=0,即a=-b时成立.
===》
8/3

a²-ab+b²=8
ab=8-(a-b)²≤8
ab=[(a+b)²-8]/3≥-8/3
a²+ab+b²=8+2ab
8/3≤a²+ab+b²≤24

• a²-ab+b²=8

•  

• a²-ab+b²

• =(a-b)²+ab=8

• ab=8-(a-b)²

• (a-b)²≥0

  8-(a-b)²=ab≤8

• -ab≥-8

• a²+ab+b²=a²-ab+b²+2ab=8+2ab≤8+2*8=24

              a²+ab+b²≤24

• a²+ab+b²

• =(a+b)²-ab

• ≥0-8=-8

•  

   -8≤a²+ab+b²≤24