均值不等式问题min{1/x^14+7x^2},x>0.结果应为8.但此式均值不等式为何不成立?即最小值应该在1/x^14=7x^2,即x=(1/7)^16时取得,但为何却在x=1处取得?

均值不等式问题min{1/x^14+7x^2},x>0.结果应为8.但此式均值不等式为何不成立?即最小值应该在1/x^14=7x^2,即x=(1/7)^16时取得,但为何却在x=1处取得?
均值不等式问题
min{1/x^14+7x^2},x>0.结果应为8.但此式均值不等式为何不成立?即最小值应该在1/x^14=7x^2,即x=(1/7)^16时取得,但为何却在x=1处取得?

均值不等式问题min{1/x^14+7x^2},x>0.结果应为8.但此式均值不等式为何不成立?即最小值应该在1/x^14=7x^2,即x=(1/7)^16时取得,但为何却在x=1处取得?
答：
x>0
1/x^14+7x^2
=1/x^14+x^2+x^2+.+x^2 （7个x^2)
>=8*（8次方根√[(1/x^14)*(x^2)*.*(x^2)]
=8*1
=8
当且仅当1/x^14=x^2
即x^16=1即x=1时取得最小值8
利用均值不等式的时候原则上是消除掉未知数x

答案是正确的，使用均值不等式的方式有误。通常使用均值不等式，应该保证一侧是常量。
1/x^14+7x^2>=2(7/x^12)，注意右侧不是常量，仍然是一个函数。
正确解法应该拆开1/x^14+x^2+x^2+ +x^2，共计八项，连续使用三次均值不等式（先变为四项，再变为两项，最后变为一项）
有问题私信我，打字不方便非常感谢。采纳最快回答的了，希见谅...

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答案是正确的，使用均值不等式的方式有误。通常使用均值不等式，应该保证一侧是常量。
1/x^14+7x^2>=2(7/x^12)，注意右侧不是常量，仍然是一个函数。
正确解法应该拆开1/x^14+x^2+x^2+ +x^2，共计八项，连续使用三次均值不等式（先变为四项，再变为两项，最后变为一项）
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使用均值不等式求最小值应满足ab为定值，因此需要对原式做变形，即：
min{1/x^14+7x^2}=1/x^14+x^2+x^2+x^2+x^2+x^2+x^2+x^2>=8
当且仅当1/x^14=x^2即x=1时等号成立

1/x^14+7x^2
=1/x^14+x^2+x^2+...+x^2
>=8(1/x^14 *x^2*x^2*...*x^2) ^(1/8) =8
若1/x^14 =7x^2 则1/x^14 *7x^2 =7/x^12 不为常数 若x--->0时那么7/x^12 不是趋向于正无穷大