已知,如图,AB是圆O的直径,CD是弦,AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为E,F 若AE=a,EF=b,BF=c,已知,如图,AB是圆O的直径,CD是弦,AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为E,F .若AE=a,EF=b,BF=c,求证tan角EAC和tan角EAD是方程ax-bx+c=0的两个根
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 04:04:41
已知,如图,AB是圆O的直径,CD是弦,AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为E,F 若AE=a,EF=b,BF=c,已知,如图,AB是圆O的直径,CD是弦,AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为E,F .若AE=a,EF=b,BF=c,求证tan角EAC和tan角EAD是方程ax-bx+c=0的两个根
已知,如图,AB是圆O的直径,CD是弦,AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为E,F 若AE=a,EF=b,BF=c,
已知,如图,AB是圆O的直径,CD是弦,AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为E,F .若AE=a,EF=b,BF=c,求证tan角EAC和tan角EAD是方程ax-bx+c=0的两个根
已知,如图,AB是圆O的直径,CD是弦,AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为E,F 若AE=a,EF=b,BF=c,已知,如图,AB是圆O的直径,CD是弦,AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为E,F .若AE=a,EF=b,BF=c,求证tan角EAC和tan角EAD是方程ax-bx+c=0的两个根
图中G是BF与圆的交点,连接AG
因为AB是直径,所以角AGB=90度.
所以 AEFG是矩形,AG=EF=b,AE=GF=a
易证 EC=DF,
设 EC=DF=d
连接AC,AD,BD
则
tan角EAC=EC/AE=d/a
tan角EAD=ED/AE=(b-d)/a
又因为 角ADB=90度
所以 角ADE+角BDF=90度
所以 角BDF=角EAD
而 tan角BDF=BF/DF=c/d
所以 tan角EAD=c/d
于是
tan角EAC+tan角EAD=d/a+(b-d)/a=b/a
tan角EAC×tan角EAD=d/a×c/d=c/a
故 tan角EAC和tan角EAD是 ax^2-bx+c=0 的两个根.
过O作OH垂直EF于H，HC=HD，由AE⊥CD,BF⊥CD，则AE平行OH平行BF，且OA=OB，所以HE=HF
所以EC=DF,CF=DE.
连接AC和BC，可证Rt三角形AEC与RT三角形CFB相似，则AE：CF=EC：BF，
又因AE=a，EF=b，BF=c，则EC*CF=ac（1），又因EC+CF=b （2），
所以由（1）（2）得EC=[b+√(b^2-...
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过O作OH垂直EF于H，HC=HD，由AE⊥CD,BF⊥CD，则AE平行OH平行BF，且OA=OB，所以HE=HF
所以EC=DF,CF=DE.
连接AC和BC，可证Rt三角形AEC与RT三角形CFB相似，则AE：CF=EC：BF，
又因AE=a，EF=b，BF=c，则EC*CF=ac（1），又因EC+CF=b （2），
所以由（1）（2）得EC=[b+√(b^2-4ac)]/2,CF=DE=[b-√(b^2-4ac)]/2
由方程ax-bx+c=0知x1=[b+√(b^2-4ac)]/2a，x2=[b-√(b^2-4ac)]/2a。
在Rt三角形AEC中，tan角EAC=EC/AE=[b+√(b^2-4ac)]/2a=x1；
在RT三角形CFB中，tan角EAD=ED/AE=[b-√(b^2-4ac)]/2a=x2.
所以tan角EAC和tan角EAD是方程ax-bx+c=0的两个根。
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