以F1F2为焦点的椭圆x²/a²+y²/b²=1上一动点P,当角F1PF2最大时,角PF1F2的正切值为2,求离心率大小

以F1F2为焦点的椭圆x²/a²+y²/b²=1上一动点P,当角F1PF2最大时,角PF1F2的正切值为2,求离心率大小
以F1F2为焦点的椭圆x²/a²+y²/b²=1上一动点P,当角F1PF2最大时,角PF1F2的正切值为2,
求离心率大小

以F1F2为焦点的椭圆x²/a²+y²/b²=1上一动点P,当角F1PF2最大时,角PF1F2的正切值为2,求离心率大小
这种张角问题一般考虑用余弦定理.
cos∠F1PF2 = (F1P^2+F2P^2-F1F2^2)/(2F1P*F2P)
=[(F1P+F2P)^2-2F1P*F2P-F1F2^2])/(2F1P*F2P)
=-1+4(a^2-c^2)/(2F1P*F2P).1&
由于f(x) = cosx 在 x ∈(0,π)时是减函数,所以∠F1PF2 取最大值时cos∠F1PF2取最小值
由1&, cos∠F1PF2 ≤ -1+4(a^2-c^2)/[(F1P+F2P)^2/2]=-1+2(a^2-c^2)/a^2 当且仅当F1P=F2P时取等号,也就是说此时P是椭圆短轴顶点
所以 tan∠PF1F2=b/c=2
所以 e=c/a =1/√5=√5/5

0.25