已知椭圆的焦点坐标为F1（-1,0）,F2（1,0）,过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点,且|PQ|=3．过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N,则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值?若存在求出这个最

已知椭圆的焦点坐标为F1（-1,0）,F2（1,0）,过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点,且|PQ|=3．过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N,则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值?若存在求出这个最
已知椭圆的焦点坐标为F1（-1,0）,F2（1,0）,过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点,且|PQ|=3．
过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N,则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值?若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在,请说明理由．求详解

已知椭圆的焦点坐标为F1（-1,0）,F2（1,0）,过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点,且|PQ|=3．过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N,则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值?若存在求出这个最
已知椭圆的焦点坐标为F₁（-1,0）,F₂（1,0）,过F₂垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点,且|PQ|=3．过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N,则△F₁MN的内切圆的面积是否存在最大值?若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在,请说明理由.
设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1；已知c=1,故有a²-b²=1.(1)
将x=1代入椭圆方程得1/a²+y²/b²=1,y²=b²(1-1/a²)=b²(a²-1)/a²=(b²/a²)(a²-c²)=b⁴/a²；
于是得y=±(b²/a),即有|PQ|=2b²/a=3；故得a=(2/3)b²,代入(1)式得(4/9)b⁴-b²=1；
4b⁴-9b²-9=(4b²+3)(b²-3)=0,故b²=3；a²=b²+1=4；于是得椭圆方程为x²/4+y²/3=1.(2)
设过F₂的直线方程为y=k(x-1),即x=1+(y/k)；代入(2)式得：
(1/4)(1+y/k)²+y²/3-1=0；去分母得3(k+y)²+4k²y²-12k²=0；展开化简得(4k²+3)y²+6ky-9k²=0.(3)
因为△F₁MN的内切园的半径r=△F₁MN的面积S/△F₁MN的周长之半p；
而△周长之半p=(1/2)[∣MF₁∣+∣MF₂∣+∣NF₁∣+∣NF₂∣]=(1/2)(2a+2a)=2a=4
故r=S/4,那么当△F₁MN的面积S最大时r也就最大.
而△F₁MN的面积S=△F₁MF₂＋△F₁NF₂=S₁＋S₂=(1/2)(2c)(∣y₁∣+∣y₂∣)
设M(x₁,y₁)(y₁>0),N(x₂,y₂)(y₂