在△ABC中,D,E,F分别在AB,BC,CA上,且AD：DB=BE：EC=CF:FA=k,设AE,BF,CD围成德三角形A1B1C1,求面积比求的是面积ABC/面积△A1B1C1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 00:46:06
在△ABC中,D,E,F分别在AB,BC,CA上,且AD：DB=BE：EC=CF:FA=k,设AE,BF,CD围成德三角形A1B1C1,求面积比求的是面积ABC/面积△A1B1C1
在△ABC中,D,E,F分别在AB,BC,CA上,且AD：DB=BE：EC=CF:FA=k,设AE,BF,CD围成德三角形A1B1C1,求面积比
求的是面积ABC/面积△A1B1C1
在△ABC中,D,E,F分别在AB,BC,CA上,且AD：DB=BE：EC=CF:FA=k,设AE,BF,CD围成德三角形A1B1C1,求面积比求的是面积ABC/面积△A1B1C1
连接BA1、CB1、AC1
设三角形ABC的面积为S,小三角形的面积为S1,则
S1＝S-(SABE+SBFC+SADC)+SADA1+SBEB1+SCFC1
由AD：DB=BE：EC=CF:FA=k可得
AB：DB=BC：EC=AC:FA=k+1
AD＝k*DB,BE＝k*EC,CF＝k*FA
SABE＝SBFC=SADC＝[k/(k+1)]S
设三角形BDA1的面积为a,则三角形ADA1的面积为ka,三角形ABA1的面积为(k+1)a
三角形BEA1的面积＝SABE－SABA1=[k/(k+1)]S-(k+1)a
又三角形BEA1的面积＝[k/(k+1)]SBCA1＝[k/(k+1)][SBCD－a]=[k/(k+1)][1/(k+1)S-a]
则[k/(k+1)]S-(k+1)a=[k/(k+1)][1/(k+1)S-a]
解之得,三角形ADA1的面积＝ka=k^2S/[(k+1)(k^2+k+1)]
同理可得,
三角形BEB1的面积＝三角形CFC1的面积＝三角形ADA1的面积＝k^2S/[(k+1)(k^2+k+1)]
所以
S1＝S-(SABE+SBFC+SADC)+SADA1+SBEB1+SCFC1
＝S-[3k/(k+1)]S＋3k^2S/[(k+1)(k^2+k+1)]
S1/S=1-[3k/(k+1)]＋3k^2/[(k+1)(k^2+k+1)]=(k-1)^2/(k^2+k+1)=(k-1)^3/(k^3-1)
则面积ABC/面积△A1B1C1＝(k^3-1)/(k-1)^3
求图