如图,三角形ABC中,E是AC上一点,且AE=AB,角EBC=1/2角BAC,以AB为直径的圆O交AC于点D,交EB于点F.（1）求证：BC与圆O相切； （2）若AB=8,sin角EBC=1/4,求AC的长. 大神,顺便帮帮忙,答了这道题吧,感激不尽
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 04:35:24
如图,三角形ABC中,E是AC上一点,且AE=AB,角EBC=1/2角BAC,以AB为直径的圆O交AC于点D,交EB于点F.（1）求证：BC与圆O相切； （2）若AB=8,sin角EBC=1/4,求AC的长. 大神,顺便帮帮忙,答了这道题吧,感激不尽
如图,三角形ABC中,E是AC上一点,且AE=AB,角EBC=1/2角BAC,以AB为直径的圆O交AC于点D,交EB于点F.
（1）求证：BC与圆O相切；
（2）若AB=8,sin角EBC=1/4,求AC的长.
大神,顺便帮帮忙,答了这道题吧,感激不尽
如图,三角形ABC中,E是AC上一点,且AE=AB,角EBC=1/2角BAC,以AB为直径的圆O交AC于点D,交EB于点F.（1）求证：BC与圆O相切； （2）若AB=8,sin角EBC=1/4,求AC的长. 大神,顺便帮帮忙,答了这道题吧,感激不尽
（1）证明：因为AB=AE
所以角ABE=角AEB
因为角ABE+角AEB+角BAC=180度
所以角ABE+1/2角BAC=90度
因为角EBC=1/2角BAC
所以角ABE+角EBC=90度
因为角ABE+角EBC=角ABC
所以角ABC=90度
因为AB是圆O的直径
所以BC与圆O相切
过点A作AM垂直BE于F,连接BD
所以AM是三角形ABE的垂线
因为AB=AE
所以三角形ABE是等腰三角形
所以AM是等腰三角形ABE的平分线,中垂线
所以角BAM=角EAM=1/2角ABE
BM=EM=1/2BE
角AMB=90度
所以三角形ABM是直角三角形
所以sin角BAM=BM/AB
因为角EBC=1/2角BAC
所以角EBC=角BAM
因为sin角EBC=1/4
所以sin角BAM=1/4
所以BM=2
所以BE=4
AE=8
在三角形ABE中,由余弦定理得：
cos角BAC=(AB^2+AE^2-BE^2)/2AB^AE
所以cos角BAC=7/8
因为AB是圆O的直径
所以角ADB=90度
所以三角形ADB是直角三角形
所以cos角BAC=AD/AB
所以AD=7
因为角BAC=90度（已证）
所以三角形ABC是直角三角形
由勾股定理得：
AC^2=AB^2+BC^2
因为BC是圆O的切线（已证）
所以BC^2=CD*AC
因为CD=AC-AD
所以AC(AC-7)=AC^2-64
AC=64/7
所以AC的长是64/7