求y=cos³x+sin²x-cosx的最大值(多种解法,至少2种)
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/08/26 09:49:22
求y=cos³x+sin²x-cosx的最大值(多种解法,至少2种)
求y=cos³x+sin²x-cosx的最大值(多种解法,至少2种)
求y=cos³x+sin²x-cosx的最大值(多种解法,至少2种)
解法一:
y=cos³x+sin²x-cosx=cos³x+(1-cos²x)-cosx
换元思想
令t=cosx,则y=t³-t²-t+1,其中t∈[-1,1]
则y'=3t²-2t-1=(t-1)(3t+1)
令y'=0,得t=1或t=-1/3
当x∈[-1,-1/3)时,y'>0,y单调递增;
当x∈(-1/3,1]时,y'<0,y单调递减.
∴当x=-1/3时,y取得极大值,也是最大值,则ymax=f(-1/3)=32/27.
解法二:[较难想到]
y=cos³x+sin²x-cosx=cosx(cos²x-1)+(1-cos²x)=(1-cos²x)(1-cosx)=(1-cosx)²(1+cosx)=4(cosx+1)(1/2-1/2cosx)(1/2-1/2cosx)≤4*[ [cosx+1+2(1/2-1/2cosx)]/3 ]³=32/27
第二种解法可能超纲了.
用详解吗?
还有一种方法:都换成cosx,再换元变成关于它的函数
不过还需要求导,但相比于第一种方法较简便
求导...
y=cos x (1-cos" x)+sin"x=- cos x sin"x +sin"x =sin"x(1-cos x)=sin "x sin "(x/2)
当x=kx/2+90时y=根号2
y=cos³x+sin²x-cosx
=cos³x+1-cos²x-cosx
=cos²x(cosx-1)-(cosx-1)
=(cosx-1)(cosx-1)(cosx+1)
=4(-1/2cosx+1/2)(-1/2cosx+1/2)(cosx+1)
利用abc≤[(a+b+c)/3]^3原理
y≤4*(2/3)^3=32/27 -1/2cosx+1/2=cosx+1 得出cosx=-1/3 符合其范围