设t>0,a,b为有理数,试比较a+bt /1+t 与a,b的大小

设t>0,a,b为有理数,试比较a+bt /1+t 与a,b的大小
设t>0,a,b为有理数,试比较a+bt /1+t 与a,b的大小

设t>0,a,b为有理数,试比较a+bt /1+t 与a,b的大小
a+bt /1+t -a
=(a+bt-a-at) /(1+t)
=(b-a)t /(1+t)
（1）当a0
(b-a)t /(1+t)>0
a+bt /1+t >a
a+bt /1+t -b
=(a+bt-b-bt) /(1+t)
=(a-b)t /(1+t)

分组讨论：
一、当a>b时
(a+bt)/(1+t)-a
=[(a+bt)-a(1+t)]/(1+t)
=(b-a)t/(1+t)<0
(a+bt)/(1+t)-b
=[(a+bt)-b(1+t)]/(1+t)
=(a-b)/(1+t)>0
∴b<(b-a)t/(1+t)二、当a≤b时
(a+bt)/(1+t)-...

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分组讨论：
一、当a>b时
(a+bt)/(1+t)-a
=[(a+bt)-a(1+t)]/(1+t)
=(b-a)t/(1+t)<0
(a+bt)/(1+t)-b
=[(a+bt)-b(1+t)]/(1+t)
=(a-b)/(1+t)>0
∴b<(b-a)t/(1+t)二、当a≤b时
(a+bt)/(1+t)-a
=[(a+bt)-a(1+t)]/(1+t)
=(b-a)t/(1+t)≥0
(a+bt)/(1+t)-b
=[(a+bt)-b(1+t)]/(1+t)
=(a-b)/(1+t)≤0
∴a≤(b-a)t/(1+t)≤b

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设y=a+bt /1+t
t=(y-a)/(y-b),t>0
(y-a)/(y-b)>0
当a>b时
b当aa

依个人理解，略推广一下，也严格化一下书写形式。
题：t>0,a,b为实数。试比较(a+bt)/(1+t)、(at+b)/(1+t) 与a,b的大小。
解一：
取k=1/(1+t).原题即:
0易见，a>b==》a+at>a+bt和b+at>b+bt，此时即a>(a+...

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依个人理解，略推广一下，也严格化一下书写形式。
题：t>0,a,b为实数。试比较(a+bt)/(1+t)、(at+b)/(1+t) 与a,b的大小。
解一：
取k=1/(1+t).原题即:
0易见，a>b==》a+at>a+bt和b+at>b+bt，此时即a>(a+bt)/(1+t)和(at+b)/(1+t)>b.
将上面的a与b互换，耐心代换可发现，得到的结果即是上面的过程之倒序，即
将a>b变成a变成<，即得结果。
当a=b时，以上四者相等。
如要详细比较(a+bt)/(1+t)、(at+b)/(1+t)，显然需考虑t>1,t<1,t=1,也很简单。略。
解二引：
先复习一下定比分点的定义：
直线L上两点P、O，它们的坐标分别为（x1，y1),(x2，y2)，在直线L上一个不同于P， O的任一点M使PM/MO等于已知常数λ。即PM/MO=λ，我们就把M叫做有向线段PO的定比分点。 若设M的坐标为(x，y)，则x=(x1+λx2)/(1+λ) ,y=(y1+λy2)/(1+λ)
P在P1与P2之间（P在向量P1P2上），λ∈（0，+∞）
解二：
设在直角坐标系上，直线l经过点A(0,a), B(0,b).
则AB之间的点C纵坐标为 (a+bt)/(1+t)，其中t>0.
显然ACB三点之纵坐标值由直线a,b的倾斜情况决定。
当a>b时, ACB为递降的。a=b时，持平；a另外，变t为1/t，即得(a+b/t)(1+1/t)=(at+b)/(1+t)
因此，设有点D的坐标为(at+b)/(1+t)，则CD二点的顺序由t与1/t的大小关系决定。
下略。

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