设a,b,c 属于正数,且a+b+c=1,求证：(1\a-1)(1\b-1)(1\c-1)大于等于8算术平均数与几何平均数,怎么感觉听不太懂啊

设a,b,c 属于正数,且a+b+c=1,求证：(1\a-1)(1\b-1)(1\c-1)大于等于8算术平均数与几何平均数,怎么感觉听不太懂啊
设a,b,c 属于正数,且a+b+c=1,求证：(1\a-1)(1\b-1)(1\c-1)大于等于8
算术平均数与几何平均数,怎么感觉听不太懂啊

设a,b,c 属于正数,且a+b+c=1,求证：(1\a-1)(1\b-1)(1\c-1)大于等于8算术平均数与几何平均数,怎么感觉听不太懂啊
a,b,c 属于正数,且a+b+c=1,
则
1-a=b+c
1-b=a+c
1-c=a+b
所以,
(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)
=((1-a)/a)((1-b)/b)((1-c)/c)
=((b+c)/a)((a+c)/b)((a+b)/c)
=(b+a)(a+c)(b+c)/abc
≥(2√ab)*(2√ac)*(2√bc)/abc
=8 (基本不等式)
等号当且仅当a=b=c=1/3时成立

(1/a-1)=(b+c)/a>=2根号(bc)/a
同理可得其他两式
三式相乘即得证明。

利用a+b≥2√ab
b+c≥2√bc
a+c≥2√ac
原式=（a+b）（b+c）（a+c）/abc≥2√ab*2√bc*2√ac / abc=8