已知一元二次方程ax^+bx+c=0有两个实数根,且实数根的立方和为S1,两根的平方和为S2,两根之和为S3求证aS1+bS2+cS3=0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 10:33:32
已知一元二次方程ax^+bx+c=0有两个实数根,且实数根的立方和为S1,两根的平方和为S2,两根之和为S3求证aS1+bS2+cS3=0
已知一元二次方程ax^+bx+c=0有两个实数根,且实数根的立方和为S1,两根的平方和为S2,两根之和为S3
求证aS1+bS2+cS3=0
已知一元二次方程ax^+bx+c=0有两个实数根,且实数根的立方和为S1,两根的平方和为S2,两根之和为S3求证aS1+bS2+cS3=0
设这两个实根为x1,x2,则有
x1 x2=-b/(2a)
x1x2=c/a
因此
S1=x1^3 x2^3
=(x1 x2)(x1^2-x1x2 x2^2)
=(x1 x2)(x1^2 2x1x2-3x1x2 x2^2)
=(x1 x2)[(x1 x2)^2-3x1x2]
=[-b/(2a)]{[-b/(2a)]^2-3c/a}
S2=x1^2 x2^2
=x1^2 x2^2 2x1x2-2x1x2
=(x1 x2)^2-2x1x2
=[-b/(2a)]^2-2c/a
S3=x1 x2
=-b/(2a)
那么
aS1 bS2 cS3
…………
把S1,S2,S3用a、b、c代表的式子代入上面的式子,就可以了.
设两根为x1,x2
s1=x1^3+x2^3
=(x1+x2)(x1^2+x2^2-x1x2)
=s3(s2-c/a)
s3=x1+x2=-b/a
aS1+bS2+cS3=as2s3-cs3+bs2+cs3
=as2s3+bs2
=s2(as3+b)
=s2(-b+b)=0
设两根为x1,x2
有x1^3+x2^3=s1
x1^2+x2^2=s2
x1+x2=s3
则aS1+bS2+cS3=a(x1^3+x2^3)+b(x1^2+x2^2)+c(x1+x2)
=ax1^3+bx2^2+cx1+ax2^3+bx2^2+cx2
=x1(ax1^2+bx1+c)+x2(ax2^2+bx2+c)
=x1*0+x2*0
=0
证毕
设两根为x1,x2
s1=x1^3+x2^3
=(x1+x2)(x1^2+x2^2-x1x2)
=s3(s2-c/a)
s3=x1+x2=-b/a
aS1+bS2+cS3=as2s3-cs3+bs2+cs3
=as2s3+bs2
=s2(as3+b)
=s2(-b+b)=0