求微积分 ∫【－∞,＋∞】∅(t)dt 其中 ∅(t)=1/√2π exp(-t^2/2)

求微积分 ∫【－∞,＋∞】∅(t)dt 其中 ∅(t)=1/√2π exp(-t^2/2)
求微积分 ∫【－∞,＋∞】∅(t)dt 其中 ∅(t)=1/√2π exp(-t^2/2)

求微积分 ∫【－∞,＋∞】∅(t)dt 其中 ∅(t)=1/√2π exp(-t^2/2)
如果I= ∫【－∞,＋∞】∅(t)dt,
那么I^2= ∫【－∞,＋∞】∅(x)dx* ∫【－∞,＋∞】∅(y)dy
= ∫ ∫∅(x)∅(y)dxdy, 化为全平面上的二重积分
注意到∅(x)∅(y)=1/√2π exp(-(x^2+y^2)/2)
把二重积分用极坐标代换
I^2=∫[0,2π]du ∫[0,+∞]1/√2π exp(-r^2/2)rdr
=2π/√2π