用数学归纳法证明n^3+(n+1)^3+(n+2)^3能被9整除,其中n属于N*

用数学归纳法证明n^3+(n+1)^3+(n+2)^3能被9整除,其中n属于N*
用数学归纳法证明n^3+(n+1)^3+(n+2)^3能被9整除,其中n属于N*

用数学归纳法证明n^3+(n+1)^3+(n+2)^3能被9整除,其中n属于N*
n^3+(n+1)^3+(n+2)^3
证明：
1）当n=1时,原式=1+8+27=36=4*9命题成立
2）假设当n=k时,命题成立
即k^3+(k+1)^3+(k+2)^3能被9整除
那么当n=k+1时,
（k+1)^3+(k+2)^3+(k+3)^3
=(k+1)^3+(k+2)^3+k^3+9k^2+27k+27
=[(k+1)^3+(k+2)^3+k^3]+9(k^2+3k+3)
∵k^3+(k+1)^3+(k+2)^3能被9整除
9(k^2+3k+3)能被9整除
∴（k+1)^3+(k+2)^3+(k+3)^3能被9整除
即当n=k+1时命题成立
由1）2）可知对于任意的正整数n原命题恒成立

首先验证n=1时成立，只需证明(n+3)³-n³能被9整除即可
利用立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)=(a-b)[(a-b)²+3ab]
将a=n+3,b=n代入得：(n+3)³-n³=3*[3²+3n(n+3)]=9[3+n(n+3)]
显然能被9整除，得证。

当n=1时，原式=36，被9整除；
设n=k时成立；
当n=k+1时，原式=(n+1)^3+(n+1+1)^3++(n+1+2)^3=[k^3+(k+1)^3+(k+2)^3]+[9k^2+27k+27]
由于n=k时，原式能被9整除，所以上式中[k^3+(k+1)^3+(k+2)^3]能被9整除，而[9k^2+27k+27]是9的整数倍，所以上式能被9整除，命题得证。