已知方程x²-4x+p=0的两个虚根α、β且│α-β│=2,求p的值?

已知方程x²-4x+p=0的两个虚根α、β且│α-β│=2,求p的值?
已知方程x²-4x+p=0的两个虚根α、β且│α-β│=2,求p的值?

已知方程x²-4x+p=0的两个虚根α、β且│α-β│=2,求p的值?
α+β=4,αβ=p,
|α-β|^2=α²-2αβ+β²
=(α+β)²-4αβ
=16-4p,
∵α、β是原方程的虚根,
∴|α-β|^2=-4,
得16-4p=-4,
p=5.

│α-β│=2,│α-β│/2=1(α、β虚部为1,-1
α+β=4,(α+β)/2=2）(α、β实部为2,-2

可设两个虚根α=2-i、β=2+i,α=-2-i、β=-2+i
p=αβ=4+1=5

∵方程x²-4x+p=0的两个虚根α、β
∴△=16-4p<0，即p>4
根据韦达定理：α+β=4，αβ=p
∵(α-β)²=(α+β)²-4αβ=16-4p
∴│α-β│=√(16-4p)=2
解得：p=3，不合题意
∴p无解

因为，在一元二次方程中，存在两个虚根
那么这两个虚根就是共轭复数
所以可以设
α=a+bi
β=a-bi
就有
α+β=2a=4
得a=2
又因为
│α-β│=2
即|-2bi|=2
得到b=1
所以α=2-i
β=2+i
p=α*β=（2-i）（2+i）=4-i²=5

α+β=4,αβ=p
│α-β│=√[(α+β)²-4αβ]
=√16-4p=2
16-4p=4
4p=12
p=3
本题是实根。