已知抛物线 Y=ax²+bx+3（a≠0）经过A(3,0),B(4,1)两点,且与y轴交于点C．（1）求抛物线 的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1）,连接AB,在题（1）中的抛物线上是否存在点P,使△PAB是以AB为直

已知抛物线 Y=ax²+bx+3（a≠0）经过A(3,0),B(4,1)两点,且与y轴交于点C．（1）求抛物线 的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1）,连接AB,在题（1）中的抛物线上是否存在点P,使△PAB是以AB为直
已知抛物线 Y=ax²+bx+3（a≠0）经过A(3,0),B(4,1)两点,且与y轴交于点C．
（1）求抛物线 的函数关系式及点C的坐标；
（2）如图（1）,连接AB,在题（1）中的抛物线上是否存在点P,使△PAB是以AB为直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由；
（3）如图（2）,连接AC,E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F,当△OEF的面积取得最小值时,求点E的坐标．
第三问的答案,为什么当OE∥AB时,△FEO面积最小.求详解

已知抛物线 Y=ax²+bx+3（a≠0）经过A(3,0),B(4,1)两点,且与y轴交于点C．（1）求抛物线 的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1）,连接AB,在题（1）中的抛物线上是否存在点P,使△PAB是以AB为直
（1）根据A（3,0）,B（4,1）两点利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）从当△PAB是以AB为直角边的直角三角形,且∠PAB=90°与当△PAB是以AB为直角边的直角三角形,且∠PBA=90°,分别求出符合要求的答案；
（3）根据当OE∥AB时,△FEO面积最小,得出OM=ME,求出即可．
（1）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3,0）,B（4,1）两点,
∴ {9a+3b+3=0 16a+4b+3=1,
解得：{a=12 b=-52,
∴y= 12x2- 52x+3；
∴点C的坐标为：（0,3）；
（2）当△PAB是以AB为直角边的直角三角形,且∠PAB=90°,
∵A（3,0）,B（4,1）,
∴AM=BM=1,
∴∠BAM=45°,
∴∠DAO=45°,
∴AO=DO,
∵A点坐标为（3,0）,
∴D点的坐标为：（0,3）,
∴直线AD解析式为：y=kx+b,将A,D分别代入得：
∴0=3k+b,b=3,
∴k=-1,
∴y=-x+3,
∴y= 1/2x2- 5/2x+3=-x+3,
∴x 2-3x=0,
解得：x=0或3,
∴y=3或0（不合题意舍去）,
∴P点坐标为（0,3）,
当△PAB是以AB为直角边的直角三角形,且∠PBA=90°,
由（1）得,FB=4,∠FBA=45°,
∴∠DBF=45°,∴DF=4,
∴D点坐标为：（0,5）,B点坐标为：（4,1）,
∴直线AD解析式为：y=kx+b,将B,D分别代入得：
∴1=4k+b,b=5,
∴k=-1,
∴y=-x+5,
∴y= 1/2x2- 5/2x+3=-x+5,
∴x 2-3x-4=0,
解得：x 1=-1,x 2=4,
∴y 1=6,y 2=1,
∴P点坐标为（-1,6）,（4,1）,
∴点P的坐标为：（-1,6）,（0,3）；
（3）如图（2）：作EM⊥AO与M,
∵当OE∥AB时,△FEO面积最小,
∴∠EOM=45°,
∴MO=EM,
∵E在直线CA上,
∴E点坐标为（x,-x+3）,
∴x=-x+3,
解得：x= 3/2,
∴E点坐标为（ 3/2,3/2）．

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