如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,D是BC上一点,且AD=BD （1）试说明:三角形ABC相似于三角形DBA;（2）若BD等于三倍根号二,AB等于二倍根号六,求BC的长;（3）若AD比BC等于1比三,求角C的度数.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 19:32:12
如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,D是BC上一点,且AD=BD （1）试说明:三角形ABC相似于三角形DBA;（2）若BD等于三倍根号二,AB等于二倍根号六,求BC的长;（3）若AD比BC等于1比三,求角C的度数.
如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,D是BC上一点,且AD=BD （1）试说明:三角形ABC相似
于三角形DBA;
（2）若BD等于三倍根号二,AB等于二倍根号六,求BC的长;
（3）若AD比BC等于1比三,求角C的度数.
如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,D是BC上一点,且AD=BD （1）试说明:三角形ABC相似于三角形DBA;（2）若BD等于三倍根号二,AB等于二倍根号六,求BC的长;（3）若AD比BC等于1比三,求角C的度数.
第一个问题：
∵AB＝AC,∴∠ABC＝∠ACB.
∵AD＝BD,∴∠DBA＝∠DAB,而∠ABC＝∠DBA,∴∠ACB＝∠DAB,∴△ABC∽△DBA.
第二个问题：
∵△ABC∽△DBA,∴BC/AB＝AB/BD,∴BC＝AB^2/BD＝（2√6）^2/（3√2）＝4√2.
第三个问题：
∵AD∶BC＝1∶3,∴AD/（BD＋CD）＝1/3,∴AD/（AD＋CD）＝1/3,∴AD/CD＝1/2.
∵∠ABC＝∠DAB,∴∠ADC＝2∠ABC＝2∠C,∴∠CAD＝180°－∠ADC－∠C＝180°－3∠C,
∴sin∠CAD＝sin3∠C.
由正弦定理,有：CD/sin∠CAD＝AD/sin∠C,∴sin∠C/sin3∠C＝AD/CD＝1/2,
∴2sin∠C＝sin3∠C＝3sin∠C－4（sin∠C）^3,∴4（sin∠C）^3＝sin∠C.
在△ABC中,∵∠B＝∠C,∴∠C是锐角,自然有：sin∠C＞0,∴4（sin∠C）^2＝1,
∴sin∠C＝1/2,∴∠C＝30°.