已知a的4次方+b的4次方+c的4次方+d的4次方=4abcd,且a.b.c.d均为正数,试判断以a,b,c,d为边的四边形是什么状,请说明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 00:14:33
已知a的4次方+b的4次方+c的4次方+d的4次方=4abcd,且a.b.c.d均为正数,试判断以a,b,c,d为边的四边形是什么状,请说明理由.
已知a的4次方+b的4次方+c的4次方+d的4次方=4abcd,且a.b.c.d均为正数,试判断以a,b,c,d为边的四边形是什么
状,请说明理由.
已知a的4次方+b的4次方+c的4次方+d的4次方=4abcd,且a.b.c.d均为正数,试判断以a,b,c,d为边的四边形是什么状,请说明理由.
a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4=4abcd-2a^2b^2-2c^2d^2
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2=-2(ab-cd)^2
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0
平方相加等于0,所以每一个平方都等于0
(a^2-b^2)^2=(c^2-d^2)^2=(ab-cd)^2=0
a^2-b^2=c^2-d^2=ab-cd=0
a,b,c,d都大于0
a^2=b^2,所以a=b
c^2=d^2,所以c=d
ab-cd=0
ab=cd
把a=b和c=d代入
b^2=d^2,b=d
所以a=b=c=d
为正方形
由平均值不等式有
(a的4次方+b的4次方+c的4次方+d的4次方)/4 >= abcd
且，只有在a=b=c=d时，等号成立
所以四边形是菱形
a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0
(a＾4+b＾4-2a^2b^2)+2a^2b^2+(c＾4+d＾4-2c^2d^2)+2c^2d^2-4abcd=0
即可变为（a^4-2a^2b^2+b^4)+(c^4-2c^2d^2+d^4)-4abcd+2a^2b^2+2c^2d^2=0
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(a^2b^2+c^2d^2-...
全部展开
a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0
(a＾4+b＾4-2a^2b^2)+2a^2b^2+(c＾4+d＾4-2c^2d^2)+2c^2d^2-4abcd=0
即可变为（a^4-2a^2b^2+b^4)+(c^4-2c^2d^2+d^4)-4abcd+2a^2b^2+2c^2d^2=0
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(a^2b^2+c^2d^2-2abcd)=0
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0
由于三项都是平方式所以
(a^2-b^2)^2=0，可得a^2-b^2=0，再得a=b；
(c^2-d^2)^2=0，可得c^2-d^2=0，再得c=d；
2(ab-cd)^2=0，可得ab=cd，以上的代入得a^2=c^2， 从而得出：a=b=c=d。
所以是正方形
收起