已知抛物线y=x²+KX-3/4K²（k为常数,且k＞0） 1、证明：此抛物线与x轴有两个交点2、设抛物线与x轴交与M、N两点,若这两点到原点的距离分别为OM,ON,且1/ON-1/OM=2/3,求k的值.

已知抛物线y=x²+KX-3/4K²（k为常数,且k＞0） 1、证明：此抛物线与x轴有两个交点2、设抛物线与x轴交与M、N两点,若这两点到原点的距离分别为OM,ON,且1/ON-1/OM=2/3,求k的值.
已知抛物线y=x²+KX-3/4K²（k为常数,且k＞0） 1、证明：此抛物线与x轴有两个交点
2、设抛物线与x轴交与M、N两点,若这两点到原点的距离分别为OM,ON,且1/ON-1/OM=2/3,求k的值.

已知抛物线y=x²+KX-3/4K²（k为常数,且k＞0） 1、证明：此抛物线与x轴有两个交点2、设抛物线与x轴交与M、N两点,若这两点到原点的距离分别为OM,ON,且1/ON-1/OM=2/3,求k的值.
第一个问题：
显然,抛物线y＝x^2＋kx－（3/4）k^2与x轴的交点就是方程x^2＋kx－（3/4）k^2＝0的解.
方程的判别式＝k^2－4×1×［－（3/4）k^2］＝4k^2,又k＞0,∴方程的判别式＞0,
∴方程有两个不同的实数解,　∴抛物线与x轴有两个交点.
第二个问题：［需要补充说明：点M在点N的左边］
设方程x^2＋kx－（3/4）k^2＝0的两根分别是x1、x2.
由韦达定理,有：x1x2＝－（3/4）k^2＜0,　∴x1、x2异号.
不失一般性地设x1＞0,x2＜0.　又M在N的左边,　∴x1＝ON,x2＝－OM.
再由韦达定理,还有：x1＋x2＝－k.
∴1/ON－1/OM＝1/x1＋1/x2＝（x1＋x2）/（x1x2）＝（－k）/［－（3/4）k^2］＝2/3,
∴4/k＝2,　∴k＝2.

（1）抛物线y＝x^2＋kx－（3/4）k^2与x轴的交点就是方程x^2＋kx－（3/4）k^2＝0的解。
方程的判别式＝k^2－4×1×［－（3/4）k^2］＝4k^2，又k＞0，∴方程的判别式＞0，
∴则有两个不同的实数解，　∴抛物线与x轴有两个交点。
（2）设方程x^2＋kx－（3/4）k^2＝0的两根分别是x1、x2。
由韦达定理，有：x1x2＝－（3/4）...

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（1）抛物线y＝x^2＋kx－（3/4）k^2与x轴的交点就是方程x^2＋kx－（3/4）k^2＝0的解。
方程的判别式＝k^2－4×1×［－（3/4）k^2］＝4k^2，又k＞0，∴方程的判别式＞0，
∴则有两个不同的实数解，　∴抛物线与x轴有两个交点。
（2）设方程x^2＋kx－（3/4）k^2＝0的两根分别是x1、x2。
由韦达定理，有：x1x2＝－（3/4）k^2＜0，　∴x1、x2异号。
不失一般性地设x1＞0，x2＜0。　又M在N的左边，　∴x1＝ON，x2＝－OM。
再由韦达定理，还有：x1＋x2＝－k。
∴1/ON－1/OM＝1/x1＋1/x2＝（x1＋x2）/（x1x2）＝（－k）/［－（3/4）k^2］＝2/3，
∴4/k＝2，　∴k＝2。

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