函数f(x)=(x²+4x+5)/(x+1) ,(x>-1)的最小值为

函数f(x)=(x²+4x+5)/(x+1) ,(x>-1)的最小值为
函数f(x)=(x²+4x+5)/(x+1) ,(x>-1)的最小值为

函数f(x)=(x²+4x+5)/(x+1) ,(x>-1)的最小值为
令t=x+1>0
则x=t-1
代入f(x)=(t^2-2t+1+4t-4+5)/t=(t^2+2t+2)/t=2+t+2/t
t>0,t+2/t>=2√(t*2/t)=2√2,当t=2/t时,即t=√2时（此时x=√2-1),取等号.
故f(x)>=2+2√2,当x=√2-1时取最小值.

x²+4x+5=x²+2x+1+2x+2+2=(x+1)^2+2(x+1)+2
(x²+4x+5)/(x+1)=(x+1)+2+2/(x+1)>=2+2根号2
所以最小值为2+2根号2

首先对函数进行简化（分子x最高次幂小于分母x最高次幂，一般能化为熟知的x+1/x型函数）
得f(x)=x+1+2/(x+1)+2,x+1>0,易知其最小值为：2+2倍根号下2.