已知抛物线y=ax^+bx+c(a≠0)与y轴的交点为C,顶点为M,直线CM的解析式为：y=—x+2,交x轴于D,且CM=2√2.（1）求抛物线的解析式（2）设抛物线与x轴有两个交点A,B(点A在B的左侧）,在x轴上有一点N,且以N
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 18:17:33
已知抛物线y=ax^+bx+c(a≠0)与y轴的交点为C,顶点为M,直线CM的解析式为：y=—x+2,交x轴于D,且CM=2√2.（1）求抛物线的解析式（2）设抛物线与x轴有两个交点A,B(点A在B的左侧）,在x轴上有一点N,且以N
已知抛物线y=ax^+bx+c(a≠0)与y轴的交点为C,顶点为M,直线CM的解析式为：y=—x+2,交x轴于D,且CM=2√2.
（1）求抛物线的解析式
（2）设抛物线与x轴有两个交点A,B(点A在B的左侧）,在x轴上有一点N,且以N为圆心的圆与直线CM相切于C,请判断A,B与圆N的位置关系,并说明理由.
（3）在直线CM 上有一动点P,过P作x轴的平行线,交抛物线于点E,F,①当三角形MEF为等边三角形时,求点P的坐标；②连结AE,BE,判断当∠AEB为锐角时点P纵坐标的取值范围.
已知抛物线y=ax^+bx+c(a≠0)与y轴的交点为C,顶点为M,直线CM的解析式为：y=—x+2,交x轴于D,且CM=2√2.（1）求抛物线的解析式（2）设抛物线与x轴有两个交点A,B(点A在B的左侧）,在x轴上有一点N,且以N
由y=-x+2知,直线MC平行y轴正半轴和x轴负半轴所夹的直角的平分线
所以：过C点作x轴的平行线z,则M点到直线z的距离等于M点到y轴的距离,而MC=2√2,
所以：M点到x轴的距离为4或0,到y轴的距离为2.如图.
所以：M(-2,4),或M(2,0).
当M(-2,4)时,将（-2,4）代入y=ax²+bx+c得：4=4a-2b+c
根据对称轴方程得：-b/2a=-2,
由抛物线与y轴的交点为C(0,2)得：c=2
解这三个等式组成的方程组得：a=-1/2,b=-2,c=2
所以：此时抛物线的解析式为y=-(1/2)x²-2x+2
当M(2,0)时,将（2,0）代入y=ax²+bx+c得：0=4a+2b+c,
同样：-b/2a=2,c=2
解这三个等式组成的方程组得：a=1/2,b=-2,c=2
所以：此时抛物线的解析式为y=(1/2)x²-2x+2.
(2)、抛物线与x轴有两个交点,从（1）的结果中可知,抛物线的解析式应该为y=-(1/2)x²-2x+2.
当y=0时,x1=-2-2√2,x2=-2+2√2
所以：抛物线与x轴的两个交点为A(-2-2√2,0), B(-2+2√2,0).
过C作直线CM的垂线交x轴于一点,这点就是N点,其坐标为（-2,0）.以N点为圆心,NC为半径的圆N和直线CM相切.不难求得NO长为2,CN长为2√2,
所以：AN的长为2√2,NB的长也为2√2
所以：点A,B都在○N上.
（3）这个问题就得分两种情况,因为抛物线解析式有两个.
情况一：当抛物线方程为y=-(1/2)x²-2x+2时.
设P（m,-m+2 ).则：
对于抛物线y=-(1/2)x²-2x+2,当y=-m+2时,可求得x的值：
x1=-2-√(4+2m),x2=-2+√4+2m)
即：E点坐标为（ -2-√(4+2m),-m+2 )
所以：直线ME的斜率为[M点坐标是（-2,4）]：
k=[4-(-m+2)]/{-2-[-2-√(4+2m)]}=√3
解得：m1=-2,m2=4
所以：P点坐标为（4,-2）或（-2,4）, 当P坐标为（-2,4）时,E,F,M三点重合,不合题意舍去.所以,P点坐标应为（4,-2）,此时△MEF是等边三角形.
设当P点纵坐标为n时,∠EAF=90°,
此时：n=(-1/2)x²-2x+2,边形为x²+4x+2n-4=0
设这个关于x的方程的两个解分别为x1和x2.则x1+x2=-4,x1x2=2n-4.
此时还有：n²=（-2-2√2-x1)[x2-(-2-2√2)]
由这三个等式解得：n²=-2n.
所以：n=-2,或n=0(不符合题意舍去）
即：当P点纵坐标为-2时,∠EAF=90°.
所以：当P点纵坐标小于-2时,∠EAF<90°,是锐角.
第二种情况：当抛物线为 y=(1/2)x²-2x+2时,（略）
