△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交AC于点E,点D是BC边上的中点,连结DE.1)求证:DE与圆O相切.2)若圆O的半径为√3,DE=3,求AE.(√为根号)
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/08/31 07:18:38
△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交AC于点E,点D是BC边上的中点,连结DE.1)求证:DE与圆O相切.2)若圆O的半径为√3,DE=3,求AE.(√为根号)
△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交AC于点E,点D是BC边上的中点,连结DE.
1)求证:DE与圆O相切.
2)若圆O的半径为√3,DE=3,求AE.(√为根号)
△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交AC于点E,点D是BC边上的中点,连结DE.1)求证:DE与圆O相切.2)若圆O的半径为√3,DE=3,求AE.(√为根号)
解析:∵AB为直径∴∠AED=90°,
Rt△BCE中,D是BC边上的中点,
则DB=DE=DC,
又OB=OE,OD=OD,
△BOD≌△EOD,
∴∠OED=∠OBD,
∵∠OBD=90°∴∠OED=90°,
∴DE与圆O相切,
由DE=3,R=√3,则BC=BD+CD=3+3=6,AB=2√3,
勾股得AC=4√3,
由射影定理或△ABE∽△ACB,
得AB/AE=AC/AB,
∴AE=AB^2/AC=12/4√3=√3,
第一问实际上是证明OE垂直于DE,具体过程如下:因为AO=BO,BD=CD,所以OD//AC,故角DOE=角AEO,且角BOD=角BAC。又因为AO=OE,所以角OAE=角AEO=角DOE=角BOD。且OD=OD,BO=EO,故三角形BOD全等于三角形DOE,则角OED=角OBD=90度。
第二问:tan(角DOE)=DE/OE=根号3,故角DOE=60度,则角AEO=角DOE=60度。又...
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第一问实际上是证明OE垂直于DE,具体过程如下:因为AO=BO,BD=CD,所以OD//AC,故角DOE=角AEO,且角BOD=角BAC。又因为AO=OE,所以角OAE=角AEO=角DOE=角BOD。且OD=OD,BO=EO,故三角形BOD全等于三角形DOE,则角OED=角OBD=90度。
第二问:tan(角DOE)=DE/OE=根号3,故角DOE=60度,则角AEO=角DOE=60度。又因为AO=OE,所以三角形AOE为等边三角形。故AE=AO=OE=根号3。
收起
连接OE、BE。 △BCE中,DE是斜边上的中线,得DE=BD=CD, 所以角C=角CED。 △AOE中,角A=角AEO; 又因为角A+角C=90°, 所以角AEO+角CED=90° 。 所以角OED=90°。 所以DE与圆O相切。 Rt△ABC中,AB=2倍根号3,BC=2DE=6。 所以角A=60°。 所以△AEO是等边三角形,AE=根号3。