求Y=2cos（x+π/4)cos（x-π/4)+√3sin2x的值域和最小正周期
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 16:27:41
求Y=2cos（x+π/4)cos（x-π/4)+√3sin2x的值域和最小正周期
求Y=2cos（x+π/4)cos（x-π/4)+√3sin2x的值域和最小正周期
求Y=2cos（x+π/4)cos（x-π/4)+√3sin2x的值域和最小正周期
暂时知道两种解法
解法1——利用积化和差公式cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2
Y=2cos（x+π/4)cos（x-π/4)+√3sin2x
=2[cos（x+π/4+x-π/4)+cos（x+π/4-x+π/4）]/2+√3sin2x
=(cos2x+cosπ/2)+√3sin2x
=cos2x+√3sin2x
=2×[(1/2)cos2x+（√3/2）sin2x]
=2×[sin(π/6)cos2x+cos(π/6)sin2x] 这里用到公式sinαcosβ+cosαsinβ= sin(α+β)
=2sin(2x+π/6)
因此,值域为[-2,2] ,最小正周期为T=2π/2=π
解法2——利用π/2±α与α的三角函数值之间的关系cos（π/2+α）= -sinα
Y=2cos（x+π/4)cos（x-π/4)+√3sin2x
=2cos（π/2+x-π/4)cos（x-π/4)+√3sin2x
=-2sin（x-π/4)cos（x-π/4)+√3sin2x
=-sin(2x-π/2)+√3sin2x
=-（sin2xcosπ/2-cos2xsinπ/2）+√3sin2x
=sin2xcosπ/2+cos2xsinπ/2+√3sin2x
=cos2x+√3sin2x
=2×[(1/2)cos2x+（√3/2）sin2x]
=2×[sin(π/6)cos2x+cos(π/6)sin2x] 这里用到公式sinαcosβ+cosαsinβ= sin(α+β)
=2sin(2x+π/6)
结论是一样的.
记得2cosa*cosb 可以融合为sin（a+b）+sin（a-b ）(公式有可能记错，但是思想是对的)，这样就可以消去乘法，后面的做法因为我忘了公式，所以你可以先尝试，或者把那四个公式发上来给我。
Y=2cos（x+π/4)cos（x-π/4)+√3sin2x=Y=2cos（x+π/4)sin（x+π/4)+√3sin2x
=sin(π/2+2x)+√3sin2x=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π/6)
所以：最小正周期为T=2π/2=π
值域为[-2,2]
因为cos（x+π/4)=sin[π/2-（x+π/4)]=sin(π/4-x)= -sin(x-π/4)
所以Y=2cos（x+π/4)cos（x-π/4)+√3sin2x
=-2sin(x-π/4)cos（x-π/4)+√3sin2x
=-sin(2x-π/2))+√3sin2x
=√3sin2x+cos2x
=2(√3/2sin2x+1/2cos2x)
=2sin(2x+π/6)
故：值域为[-2,2] 最小正周期为π