已知圆x²+y²-6x-8y+21=0和直线kx-y-4k+3=0 （1）求证,不论k为何值时,直线和圆总相交 （2）求k取什么值时,直线被圆截得的弦最短,并求最短弦的长

已知圆x²+y²-6x-8y+21=0和直线kx-y-4k+3=0 （1）求证,不论k为何值时,直线和圆总相交 （2）求k取什么值时,直线被圆截得的弦最短,并求最短弦的长
已知圆x²+y²-6x-8y+21=0和直线kx-y-4k+3=0 （1）求证,不论k为何值时,直线和圆总相交 （2）求k取什么值时,直线被圆截得的弦最短,并求最短弦的长

已知圆x²+y²-6x-8y+21=0和直线kx-y-4k+3=0 （1）求证,不论k为何值时,直线和圆总相交 （2）求k取什么值时,直线被圆截得的弦最短,并求最短弦的长
（1）∵k(x-4)=y-3,∴过定点（4,3）,
把(3,4)带入原方程
得（4-3）^2+(3-4)^2=2

x²+y²-6x-8y+21=0
(x-3)^2+(y-4)^2=4
圆心(3,4),半径2
(3,4)到直线kx-y-4k+3=0的距离L=|k*3-4-4k+3|/(k^2+1)^(1/2)=|k+1|/(k^2+1)^(1/2)
L^2=(k+1)^2/(k^2+1)=1+[2k/(k^2+1)]<=1+[2|k|/(|k|^2+1)]<=...

全部展开

x²+y²-6x-8y+21=0
(x-3)^2+(y-4)^2=4
圆心(3,4),半径2
(3,4)到直线kx-y-4k+3=0的距离L=|k*3-4-4k+3|/(k^2+1)^(1/2)=|k+1|/(k^2+1)^(1/2)
L^2=(k+1)^2/(k^2+1)=1+[2k/(k^2+1)]<=1+[2|k|/(|k|^2+1)]<=1+[(|k|^2+1)/(|k|^2+1)]=2
所以：L^2<4, L<2, 就是：不论k为何值时，圆心到这直线的距离总小于半径，所以直线和圆总相交。
当k=1时，L最大^2=2，L最大=根号2,此时弦最短
(最短弦的长/2)^2=半径^2-L最大^2=2
最短弦的长=2(根号2)

收起

1）C（3，4） r=2
d=｜3k-4-(4k-3)｜/根号下（k²+1）＜2
所以不论k为何值时，直线l与圆C总相交
（2）d越大，lAB越小，d的最大值为1，此时，k＝0