已知函数f(x)=-x^3+3x^2+9x=a (1)求f(x)的单调递减区间; (2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/20 01:18:06
已知函数f(x)=-x^3+3x^2+9x=a(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.已知函数f(x)=-x^3+3x^2+9x=a

已知函数f(x)=-x^3+3x^2+9x=a (1)求f(x)的单调递减区间; (2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
已知函数f(x)=-x^3+3x^2+9x=a (1)求f(x)的单调递减区间; (2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.

已知函数f(x)=-x^3+3x^2+9x=a (1)求f(x)的单调递减区间; (2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
(I)f′(x)=-3x2+6x+9.
令f′(x)<0,解得x<-1或x>3,
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).
(II)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,
所以f(2)>f(-2).
因为在(-1,3)上f′(x)>0,所以f(x)在[-1,2]上单调递增,
又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减,
因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,于是有22+a=20,解得a=-2.
故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此f(-1)=1+3-9-2=-7,
即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.

(1)对f(x)求导有f(x)‘=-3x^2+6x=9,令f(x)‘≤0,得到x≥3或x≤-1,即为单调递减区间
(2)(-1,3)为单调递增区间,故f(x)在(-2,-1)递减,在(-1,2)递增
f(-2)=2+a,f(2)=22+a,显然最大值为f(2)=22+a=20,则a=-2,最小值为f(-1)=-5+a=-7