若动点P（x,Y)在曲线x²/4+y²/b²=1(b>0)上变化,则x²+2y的最大值为多少?

若动点P（x,Y)在曲线x²/4+y²/b²=1(b>0)上变化,则x²+2y的最大值为多少?
若动点P（x,Y)在曲线x²/4+y²/b²=1(b>0)上变化,则x²+2y的最大值为多少?

若动点P（x,Y)在曲线x²/4+y²/b²=1(b>0)上变化,则x²+2y的最大值为多少?
动点P（x,Y)在曲线x²/4+y²/b²=1(b>0)上变化
即 b²x²+4y²=4b²
∴ b²(x²+2y)
= 4b²-4y²+2b²y
=-4y²+2b²y+4b²
看成关于y的函数,对称轴是y=b²/4,y∈[-b,b]
（1）b²/4≤b.即0< b≤4时,
当y=b²/4时,b²(x²+2y)有最大值-b^4/4+b^4/2+4b²=b^4/4+4b²
∴ x²+2y的最大值为b²/4+4
（2）b²/4>b,即 b>4时,
当y=b时,b²(x²+2y)有最大值-4b²+2b^4+4b²=2b^3
∴ x²+2y的最大值为2*b

参数方程求解，设x=2cost，y=b*sint，则
x^2+2y=4（cost）^2 + 2b*sint=4（1-（sint）^2）+2b*sint
=-4（sint）^2+2b*sint+4
方便起见，将sint记为z，即欲求函数f（z）==-4（z）^2+2b*z+4最值，此抛物线方程开口向下，自变量z取值范围为[-1,1]，对称轴方程为z=b/...

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参数方程求解，设x=2cost，y=b*sint，则
x^2+2y=4（cost）^2 + 2b*sint=4（1-（sint）^2）+2b*sint
=-4（sint）^2+2b*sint+4
方便起见，将sint记为z，即欲求函数f（z）==-4（z）^2+2b*z+4最值，此抛物线方程开口向下，自变量z取值范围为[-1,1]，对称轴方程为z=b/4
（1）0由于对称轴落在z取值区间[-1,1]中，z的最大值必然在抛物线顶点处取得，即当z=b/4时，f（z）取得最大值，计算可得f（z）max=(b^2/4)+4
(2)b>=4时，对称轴z=b/4>=1
即z取值区间[-1,1]落在对称轴左侧，函数单调递增，在z=1处取得最大值，计算可得f（z）max=2b
注：b为参量，所以需要分情况讨论，但不代表不能给出确切答案

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