正项数列﹛an﹜中,前n项和Sn满足:Sn²-(n²+n-1)Sn -(n²+n)=0（Ⅰ）求数列﹛an﹜的通项公式（Ⅱ）令bn=n+1/（n+2）² ·an² 数列﹛bn﹜的前n项和为Tn,证明对于任意n属于正整数总有Tn＜5/6

正项数列﹛an﹜中,前n项和Sn满足:Sn²-(n²+n-1)Sn -(n²+n)=0（Ⅰ）求数列﹛an﹜的通项公式（Ⅱ）令bn=n+1/（n+2）² ·an² 数列﹛bn﹜的前n项和为Tn,证明对于任意n属于正整数总有Tn＜5/6
正项数列﹛an﹜中,前n项和Sn满足:Sn²-(n²+n-1)Sn -(n²+n)=0
（Ⅰ）求数列﹛an﹜的通项公式
（Ⅱ）令bn=n+1/（n+2）² ·an² 数列﹛bn﹜的前n项和为Tn,证明对于任意n属于正整数总有Tn＜5/64

正项数列﹛an﹜中,前n项和Sn满足:Sn²-(n²+n-1)Sn -(n²+n)=0（Ⅰ）求数列﹛an﹜的通项公式（Ⅱ）令bn=n+1/（n+2）² ·an² 数列﹛bn﹜的前n项和为Tn,证明对于任意n属于正整数总有Tn＜5/6
有题目的式子,因式分解,就得到（Sn-1）x（Sn-n^2-n)=0,然后两个因式等于零,当Sn=1的时候,代入原等式,就得到n^2+n-1=0,由于n大于等于1,所以此解不成立!所以Sn=n^2+n,然后再令n=n-1,代入Sn,得到Sn-1=n^2-n,an=Sn-Sn-1=2n,然后令n=1求得a1=2,符合原不等式,所以an=2n
第二问,代入之后,分成两个式子求和,求和的时候,利用错位相减法,可以求出tn的表达式,然后再有二次不等式的性质,结合n的取值范围,相信你可以求出来!
第二问就是想让你们知道数列的求和里,错位相减法很重要!一定要掌握!高考里也会考这个东西!数列的东西题目类型太多,多做题,多发现总结,别怕做数列题,虽然很麻烦!加油吧!

(1)
(Sn)²-(n²+n-1)Sn -(n²+n)=0
n=1
a1^2- a1 - 2 =0
(a1-2)(a1+1)=0
a1=2
(Sn)²-(n²+n-1)Sn -(n²+n)=0
[Sn -(n^2+n)] [ Sn + 1] =0
Sn = n^2+n

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(1)
(Sn)²-(n²+n-1)Sn -(n²+n)=0
n=1
a1^2- a1 - 2 =0
(a1-2)(a1+1)=0
a1=2
(Sn)²-(n²+n-1)Sn -(n²+n)=0
[Sn -(n^2+n)] [ Sn + 1] =0
Sn = n^2+n
an = Sn -S(n-1)
= 2n
(2)
bn = (n+1)/[(n+2)^2.an^2]
= (1/4) (n+1)/[n^2.(n+2)^2]
= (1/16) [ 1/n^2 -1/(n+2)^2 ]
Tn =b1+b2+..+bn
= (1/16) ( 1/1^2 + 1/2^2 - 1/(n+1)^2 -1/(n+2)^2 ]
= (1/16)[ 5/4 - 1/(n+1)^2 -1/(n+2)^2 ]
< (1/16)(5/4)
= 5/64

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正项数列﹛a‹n›﹜中,前n项和S‹n›满足:S‹n›²-(n²+n-1)S‹n› -(n²+n)=0
(Ⅰ)求数列﹛a‹n›﹜的通项公式；(Ⅱ)令b‹n›=(n+1)/[(n+2)² a‹n&#...

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正项数列﹛a‹n›﹜中,前n项和S‹n›满足:S‹n›²-(n²+n-1)S‹n› -(n²+n)=0
(Ⅰ)求数列﹛a‹n›﹜的通项公式；(Ⅱ)令b‹n›=(n+1)/[(n+2)² a‹n›²] ，数列﹛b‹n›﹜的前n项和为T‹n›，
证明对于任意n属于正整数总有T‹n›＜5/64.
(Ⅰ)。S‹n›²-(n²+n-1)S‹n› -(n²+n)=(S‹n›+1)[S‹n›-(n²+n)]=0
由于﹛a‹n›﹜是正项数列，故S‹n›+1≠0，必有S‹n›-(n²+n)=0，即S‹n›=(n²+n)。
于是a₁=S₁=2；当n≧2时，a‹n›=S‹n›-S‹n-1›=(n²+n)-[(n-1)²+(n-1)]=n²+n-(n²-n)=2n.
n=1时S₁=2=a₁；故通项公式为a‹n›=2n(n=1，2，3，........).
(Ⅱ)。b‹n›=(n+1)/[4n²(n+2)² ]=(1/4)[(n+1)/(n²(n+2)²]=(1/16)[(1/n²)-1/(n+2)²]
b₁=(1/16)(1/1²-1/3²)
b₂=(1/16)(1/2²-1/4²)
b₃=(1/16)(1/3²-1/5²)
b₄=(1/16)(1/4²-1/6²)
b₅=(1/16)(1/5²-1/7²)
............................
b‹n›=(1/16)[(1/n²)-1/(n+2)²]
______________________+
故T‹n›=(1/16)[1+1/4-1/(n+2)²]<(1/16)(1+1/4)=(1/16)×(5/4)=5/64.

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