已知函数f(x)=x³+2bx²+cx+1有两个极值点x1.x2,且x1∈[-2,-1],x2∈[1,2],则f(-1)的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/02 15:23:49
已知函数f(x)=x³+2bx²+cx+1有两个极值点x1.x2,且x1∈[-2,-1],x2∈[1,2],则f(-1)的取值范围
已知函数f(x)=x³+2bx²+cx+1有两个极值点x1.x2,且x1∈[-2,-1],x2∈[1,2],则f(-1)的取值范围
已知函数f(x)=x³+2bx²+cx+1有两个极值点x1.x2,且x1∈[-2,-1],x2∈[1,2],则f(-1)的取值范围
f'(x)=3x²+4bx+c有两个实数根x1.x2,且x1∈[-2,-1],x2∈[1,2],
f'(x)=3x²+4bx+c是开口向上的二次函数,
f'(-2)=3(-2)²+4b(-2)+c=-8b+c+12>=0,(1)
f'(-1)=3(-1)²+4b(-1)+c=-4b+c+3<=0,(2)
f'(1)=3×1²+4b×1+c=4b+c+3<=0,(3)
f'(2)=3×2²+4b×2+c=8b+c+12>=0,(4)
令z=f(-1)=(-1)³+2b×(-1)²+c×(-1)+1=2b-c,
则c=2b-z
问题转化为求目标函数z=2b-c在约束条件(1)(2)(3)(4)下的最值问题
作出可行域,将以z为参数斜率为2的直线平移扫过可行域,直线在纵轴上截距-z的范围为[-12,-3],则z的范围为[3,12],即f(-1)的取值范围为[3,12]
f导数=0
3x^2+4bx+c=0
x1+x2=-4b/3 x1x2=c/3
x1+x2在[-1,1] x1x2在[-4,-1]
2b在[-3/2,3/2] c在[-12,-3]
f(-1)=2b-c在[3/2,27/2]A[-3/2，3] B[3/2，6] C[3，12] D[-3/2，12]这...
全部展开
f导数=0
3x^2+4bx+c=0
x1+x2=-4b/3 x1x2=c/3
x1+x2在[-1,1] x1x2在[-4,-1]
2b在[-3/2,3/2] c在[-12,-3]
f(-1)=2b-c在[3/2,27/2]
收起
一开始错是因为两个极值不能同时取到，x1+x2最大时，x1x2非最小。