用204,238,289分别除以一个整数,所得到的余数相同,求余数是多少?

用204,238,289分别除以一个整数,所得到的余数相同,求余数是多少?
用204,238,289分别除以一个整数,所得到的余数相同,求余数是多少?

用204,238,289分别除以一个整数,所得到的余数相同,求余数是多少?
这三个数都是17的倍数,∴除以17,余数为0
下面证明余数只能为0：
证明：
本题可以化简为这个问题：
12*17+x=y*a1
14*17+x=y*a2
17*17+x=y*a3
x、y、a1、a2、a3都是整数,求x
先观察a1、a2、a3之间的关系：2*17=y*（a2-a1）……①,3*17=y*（a3-a2）……②
两关系式相除,得：2a3=5a2-3a1
由①、②知道,要么y是17的倍数,要么a1、a2、a3都是17的倍数
而显然a1＜a2＜a3,要a1、a2、a3都是17的倍数,最小需要a1=17*1,a2=17*3,a3=17*6
这样除出来的商相差如此大不符实际
∴必定有y是17的倍数（且y一定是奇数）
∴猜测：
1°a1=1,a2=3,a3=6 2°y=17*3=51
由①、②知道,此时y=17 a1=1,a2=3,a3=6
即12*17+x=17*1 即12*17+x=51*1
14*17+x=17*3 14*17+x=51*3
17*17+x=17*6 17*17+x=51*6
∴x=187＞y=17（余数比除数大,舍） x无解,可见y过大
∴得到结论,y必须=17
∴12*17+x=17*a1
14*17+x=17*a2
17*17+x=17*a3
又∵x＜y,∴只有x=1,2,3……,16
依次尝试可知：x均不等于1,2,3……,16
∴余数只能为0

因为289-238=51 238-204=34
依题意得这两个数的公约数即为我们要求的整数
所以除数为17，余数为0