z/(z-1)是纯虚数 则z-i模的最小值

z/(z-1)是纯虚数 则z-i模的最小值
z/(z-1)是纯虚数 则z-i模的最小值

z/(z-1)是纯虚数 则z-i模的最小值
设z=a+bi,则
z/(z-1)=(a+bi)/(a-1+bi)=(a+bi)(a-1-bi)/(a-1+bi)(a-1-bi)
=[a^2-a+b^2+(2a-1)bi]/[(a-1)^2-b^2]
是纯虚数
则a^2-a+b^2=0
即(a-1/2)^2+b^2=1/4
则可设a=1/2+1/2cosθ,b=1/2sinθ
|z-i|^2=a^2+(b-1)^2=1/4+1/2cosθ+1/4(cosθ)^2+1/4(sinθ)^2+1+sinθ
=3/2+1/2cosθ+sinθ
=3/2+√5/2sin(θ+a)
所以最小值为:(3-√5)/2