设各项均为正数的数列{an}的前n项和为sn已知a1=1且(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1对一切n∈正整数成立.若λ=1,求数列的通项公式.求λ的值,使数列an为等差数列.

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为sn已知a1=1且(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1对一切n∈正整数成立.若λ=1,求数列的通项公式.求λ的值,使数列an为等差数列.
设各项均为正数的数列{an}的前n项和为sn已知a1=1且(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1对一切n∈正整数成立.
若λ=1,求数列的通项公式.
求λ的值,使数列an为等差数列.

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为sn已知a1=1且(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1对一切n∈正整数成立.若λ=1,求数列的通项公式.求λ的值,使数列an为等差数列.
（1）若λ=1,则（S（n+1）+λ）an=（Sn+1）a（n+1）两边除以ana（n+1）得
S（n+1）/a（n+1）+1/a（n+1）=Sn/an+1/an
∴Sn/an+1/an,是常数列.Sn/an+1/an=2
解得,Sn=2an-1,∴an=2^（n-1）
（2）a1=1,
n=1代入已知,得a2=1+λ
n=2代入已知,得a3=（1+λ）²
由an是等差数列.∴2a2=a1+a3,得λ=0
而当λ=0时,S（n+1）/a（n+1）=Sn/an+1/an
可以用归纳法证明an=1.
（I）当n=1时,a1=1满足题意
（II）假设an前k项为1,则由S（k+1）/a（k+1）=Sk/ak+1/ak,得
[ k+a（k+1）]/a（k+1）=k/1+1/1=k+1
所以a（k+1）=1,所以an前k+1项为1.
有归纳假设得,an=1
综上,当an为等差数列时,需λ=0,
当λ=0,an确实为等差数列,an=1
所以,使数列an为等差数列的λ的值为0.